Función inversa en el intervalo $[1, 9.5]$

Question

Estoy luchando por encontrar la inversa de la siguiente función $$f(x) = \frac{10}{3}\exp\big(-0.06x\big)\log\bigg(\frac{1}{5}\big(2x + 3\big)\bigg).$$ Me he dado cuenta de que esta función no es unívoca, así que he restringido su dominio al intervalo $[1, 9.5]$ . Soy consciente de que puede que no haya una respuesta elemental, así que, aunque prefiera una respuesta elemental, me alegraría mucho recibir una respuesta en forma de algo parecido a una serie.

Gracias de antemano.

Answer 1

Casi puedo garantizar que esto no tendrá una inversa elemental. Si tu necesidad es simplemente calcular valores, entonces sugiero una técnica de búsqueda de raíces. Tienes esto etiquetado como pre-cálculo, pero voy a doblar eso un poco y sugerir el método de Newton. Aunque el establecimiento de la recurrencia para el método de Newton requiere una derivada, que sólo necesita realizarse una vez, y luego el resto es sólo álgebra.

Suponga que quiere encontrar $f^{-1}(a)$ para algunos $a$ . Definir $g(x) = f(x) - a$ . El problema es ahora encontrar la raíz de $g$ . El método de Newton establece la recurrencia

$$x_{n+1} = x_n - \dfrac{g(x_n)}{g'(x_n)} = x_n - \dfrac{f(x) - a}{f'(x)}$$

Lo cual es de esperar que converja a la raíz de $g$ que es $f^{-1}(a)$ . Para su función, si comienza con $x_0 = 1$ convergerá muy rápidamente para $a < 2.5$ . Como $a$ se acerca a su máximo (un poco menos de $3$ ), la convergencia será más lenta, pero la secuencia debería converger en lugar de explotar, como ocurre ocasionalmente con el método de Newton.

$$f'(x) = \frac{10}3e^{-0.06x}\left[(-0.06)\log\left(\dfrac{2x+3}5\right) + \dfrac2{2x+3}\right]$$

Así que el método se convierte (con alguna simplificación) en $$\begin{align}x_0 &= 1\\x_{n+1} &= x_n - \dfrac{\dfrac{50}3\log\left(\dfrac{2x_n + 3}5\right) - 5a\,e^{0.06x_n}}{\dfrac {100}{6x_n+9} - \log\left(\dfrac{2x_n+3}5\right)}\end{align}$$ que convergerá a $f^{-1}(a)$ para $a \in (-\infty, 2.7949)$ , dando valores en $\left(-1.5, 9.6483\right)$ .