El subanillo de un límite inverso es la totalidad si los mapas a trozos son suryentes

Question

Dejemos que $(A_n)_{n\geq 0}$ sea una colección de anillos, con mapas compatibles $f_{ij}:A_j\to A_i$ para $i\leq j$ y dejamos que $A=\varprojlim\limits_nA_n$ con las proyecciones canónicas $\pi_i:A\to A_i$ .

Si $B\subseteq A$ es un subring de $A$ de manera que los mapas $\pi_i|_{B}:B\to A_i$ son todas sobreyectivas, deben $B=A$ ? Creo que la respuesta es sí, porque si hubiera algún elemento en $A$ que no está en $B$ entonces debería aparecer en algún $A_i$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo riguroso.

Answer 1

Consideremos un ejemplo estándar: $A_n=\Bbb Z/p^n\Bbb Z$ con $p$ primo y el $f_{ij}$ los mapas de proyección habituales. El límite inverso es $A=\Bbb Z_p$ El $p$ -enteros y anádicos.

Dejemos que $B=\Bbb Z\subset \Bbb Z_p$ . Entonces $B$ se asigna a cada $A_n=\Bbb Z/p^n\Bbb Z$ .