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La diferencia de la suma de la alternancia de los factoriales

Así que me encontré con esta exposición de una ponencia de Euler aquí donde Euler es intentar sumar la diferencia de la suma: $$s = 1 - 1 + 2! - 3! + 4! \dots = \sum_{k\geq 0}(-1)^k k!.$$ Hay un par de preguntas al final. Sin embargo, me gustaría ir a través de algunos de exposición en primer lugar:

Esta suma es ciertamente divergentes, pero por supuesto, esto no deja de Euler. Él va a través de diversas manipulaciones y siempre termina en el mismo valor de $s \sim 0.5963$. Brevemente, los diferentes métodos son como sigue:

  1. Deje $s = \sum_{k\geq 1}(-1)^ka_k$$a_k > 0$. Él lo define: $$b_l = \sum_{0\leq k\leq l}(-1)^{l-k}\binom{l}{k}a_{k+1}$$ y, a continuación, muestra que: $$s = \sum_{l\geq 1}\frac{b_l}{2^l}.$$ Podemos aplicar esto a nuestro $s$ repetidamente y encontrar un valor aproximado.

  2. Se menciona que se encuentra divergentes de la serie para $1/A$ $\log A$ y el uso de métodos similares se encuentra el mismo valor aproximado. También se las arregla para encontrar continuó fracción expansiones $A$ $1/A$ y se aproxima a ellos con el mismo valor.

  3. Finalmente, el vinculado papel pasa a través de la siguiente fascinación de la derivación. Definir: $$s(x) = \sum_{k\geq 0}(-1)^kk!x^{k+1}.$$ Entonces: $$\frac{ds}{dx} = \frac{x-s}{x^2}$$ y Euler resuelve esta ecuación diferencial para obtener la representación integral: $$s(x) = e^{1/x}\int_0^x\frac{e^{-1/t}}{t}dt$$ y evaluar en $x=1$ termina con la misma aproximación.

Preguntas:

Hay un par de preguntas obvias aquí. Parece ser que hay una fuerte consistencia interna de esta serie. Por qué? Generalmente, yo sospecho que hay algo de continuación analítica acechando en el fondo. ¿Es esto cierto?

Segundo, ¿cuál es el valor exacto que se nos aproxima?

En tercer lugar, hay algún libro/artículo con más divergentes en series como estas. Todo esto es muy interesante y me gustaría aprender más. Las referencias a los artículos Hardy "Divergentes de la Serie", es este sigue siendo el mejor libro para ir?

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Jorrit Reedijk Puntos 129

Creo, que una "analítica de continuación" es imposible para esta serie porque la powerseries en $x$ cero-radio de convergencia y por lo tanto el método de recentering la serie para extender su evaluatable rango de paso-por-paso no puede ser explotado aquí.


Porque usted dijo que como el problema de la divergencia de la serie aquí algunos (de aficionado, pero creo que: muy agradable) enfoque de mí mismo, que vagamente se parece a la Borel-suma:

Una vez que he encontrado un buen método de la suma de esta serie y para asignar un valor significativo (es el mismo valor que se encuentra por Euler método). Estoy usando una "matriz de método", pero en algún orden inverso...
Primero considero que el infinito tamaño de la matriz de números de Euler

    matrix E                  rowsums
  1   .   .   .  .  .  ...     1 = 0! 
  1   0   .   .  .  .          1 = 1!
  1   1   0   .  .  .          2 = 2!
  1   4   1   0  .  .          6 = 3!
  1  11  11   1  0  .         24 = 4!
  1  26  66  26  1  0   ...  120 = 5!
  ...  ...  ...  ... ...

Para el cálculo de la rowsums en una matriz de fórmula vamos a presentar la columna de vectores de sólo queridos $U=[1,1,1,1,...] ^\tau $ . La fila-sumas (el factoriales por fila) puede ser expresada como $E \cdot U = F $ donde $F=[0!,1!,2!,3!,...] ^\tau$ . Por supuesto, si queremos cambiar la escala de las filas por sólo que factoriales tenemos $$ diag(F)^{-1} \cdot ( E \cdot U )= U $$ and if we have a series and write its terms in a rowvector $A=[a_0,a_1,a_2,...] $ we can express the summing of the series by $A \cdot U = s $ also by $$A \cdot \left( diag(F)^{-1} E U \right) $$ y más aún, si la izquierda dot-producto convergente sumatorias incluso podemos asociar la matriz producto de manera diferente por $$ s = \left( (A \cdot diag(F)^{-1}) \cdot E \right) \cdot U $$ Ahora vemos que, dado $A=[0!,-1!,2!,-3!,...]$ multiplicado por el inverso de factoriales tenemos $ A \cdot diag(F)^{-1} = [1,-1,1,-1,1,-1,...] $ denotemos este último vector por $W$, luego los de punto productos con los números de Euler $W \cdot E$ dar (en columna) de la serie de expresiones como la de la primera columna: $$ w_0 =[1,-1,1,-1,1,-1,...] \cdot [1,1,1,1,1,...] = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k = 1/2 $$ que no es convergente la serie, pero una corriente alterna serie geométrica a la que se le asigna el valor de la cerrada de fracciones de la forma $ {1 \over 1+1}=\frac 12$ .
Con las siguientes columnas, eso no es tan evidente. Afortunadamente tenemos una descripción analítica de la matriz de entradas a lo largo de las columnas: pueden ser entendidos como la suma de términos de la serie geométrica y sus derivados, de nuevo, por ejemplo, $ [0,1,4,11,26,...]=[1-1,2-2,2^2-3,2^3-4,2^4-5,2^5-6,...]$ y el uso de esta para la dotproduct con $W$ da la suma de la alternancia serie geométrica con un cociente de 2, menos el de la primera derivada de la alternancia serie geométrica con un cociente de 1, que es explícitamente $$ w_1 = W \cdot E_1 = \sum_{k=0}^\infty (-2)^k - \sum_{k=0}^\infty \left((-1)^k \cdot (k+1)\right) = \pequeño {{1 \over 1+2} - \left(- \left({1 \over 1+1}\right)^2 + {1 \over 1+1}\right) = \frac 1{12}} $$ En una manera similar obtenemos la siguiente columna $w_2 = \frac 1{72}$ y así sucesivamente. La evaluación final lee a continuación $$ \left(W \cdot E \ \ derecho) \cdot U = [{1\over2},{1\over 12},{1\over 72},{1\over 1080},...]\cdot U \aprox 0.596347362323... $$ Esto es sólo un exemplaric ilustración. Analíticamente es mejor introducir un continuo argumento de $x$ en el sistema, de tal manera que el vector $A$ se convierte en Una(x)=$[1,1!x,2!x^2,3!x^3,...]$ y, a continuación, evaluar que esto tiene para el indeterminado $x$ y, a continuación, también para $A(x)_{|x=-1}=A(-1)$ por la identidad de la alternando series geométricas y sus derivados en $x$ .

Una explicación más completa es este ensayo en mis matemáticas-páginas

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