Así que me encontré con esta exposición de una ponencia de Euler aquí donde Euler es intentar sumar la diferencia de la suma: $$s = 1 - 1 + 2! - 3! + 4! \dots = \sum_{k\geq 0}(-1)^k k!.$$ Hay un par de preguntas al final. Sin embargo, me gustaría ir a través de algunos de exposición en primer lugar:
Esta suma es ciertamente divergentes, pero por supuesto, esto no deja de Euler. Él va a través de diversas manipulaciones y siempre termina en el mismo valor de $s \sim 0.5963$. Brevemente, los diferentes métodos son como sigue:
Deje $s = \sum_{k\geq 1}(-1)^ka_k$$a_k > 0$. Él lo define: $$b_l = \sum_{0\leq k\leq l}(-1)^{l-k}\binom{l}{k}a_{k+1}$$ y, a continuación, muestra que: $$s = \sum_{l\geq 1}\frac{b_l}{2^l}.$$ Podemos aplicar esto a nuestro $s$ repetidamente y encontrar un valor aproximado.
Se menciona que se encuentra divergentes de la serie para $1/A$ $\log A$ y el uso de métodos similares se encuentra el mismo valor aproximado. También se las arregla para encontrar continuó fracción expansiones $A$ $1/A$ y se aproxima a ellos con el mismo valor.
Finalmente, el vinculado papel pasa a través de la siguiente fascinación de la derivación. Definir: $$s(x) = \sum_{k\geq 0}(-1)^kk!x^{k+1}.$$ Entonces: $$\frac{ds}{dx} = \frac{x-s}{x^2}$$ y Euler resuelve esta ecuación diferencial para obtener la representación integral: $$s(x) = e^{1/x}\int_0^x\frac{e^{-1/t}}{t}dt$$ y evaluar en $x=1$ termina con la misma aproximación.
Preguntas:
Hay un par de preguntas obvias aquí. Parece ser que hay una fuerte consistencia interna de esta serie. Por qué? Generalmente, yo sospecho que hay algo de continuación analítica acechando en el fondo. ¿Es esto cierto?
Segundo, ¿cuál es el valor exacto que se nos aproxima?
En tercer lugar, hay algún libro/artículo con más divergentes en series como estas. Todo esto es muy interesante y me gustaría aprender más. Las referencias a los artículos Hardy "Divergentes de la Serie", es este sigue siendo el mejor libro para ir?