Cómo encontrar esta desigualdad $\sqrt{a^2+64}+\sqrt{b^2+1}$

Question

Dejar $a,b$ son números positivos, y tal $ab=8$ encontrar este mínimo

$$\sqrt{a^2+64}+\sqrt{b^2+1}$$

Mi intento:

y me parece que cuando $a=4,b=2$ entonces $$\sqrt{a^2+64}+\sqrt{b^2+1}$$ es mínimo $5\sqrt{5}$

puede utilizar Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Gracias

Answer 1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos $$(a^2+64)(1+4)\ge(a+16)^2$$ $$(b^2+1)(4+1)\ge (2b+1)^2$$ entonces $$\sqrt{a^2+64}+\sqrt{b^2+1}\ge\dfrac{1}{\sqrt{5}}(a+2b+17)$$ y por AM-GM tenemos $$a+2b\ge 2\sqrt{2ab}=8$$ así que $$\sqrt{a^2+64}+\sqrt{b^2+1}\ge 5\sqrt{5}$$

Answer 2

Como señaló Mher Safaryan, su desigualdad es equivalente a

$$ (1+a)\sqrt{b^2+1} \geq 5\sqrt{5} \tag{1} $$

o en otras palabras,

$$ (1+a)^2(1+b^2) \geq 125 \tag{2} $$

o de forma equivalente,

$$ (1+\frac{8}{b})^2(1+b^2) \geq 125 \tag{3} $$ Ya hemos terminado, debido a la identidad

$$ (1+\frac{8}{b})^2(1+b^2)-125=\frac{(b-2)^2\bigg(b^2+20b+16\bigg)}{b^2} $$

Answer 3

Configurar $x = a$ y $b = \frac{8}{x}$ nos encontramos con que queremos minimizar $$\sqrt{x^2 + 64} + \sqrt{\frac{64}{x^2} + 1} = \left (\frac{1}{x} + 1 \right ) \sqrt{x^2 + 64}$$ Diferenciando, obtenemos $$ \frac{x^3 - 64}{x^2 (x^2 + 64)} $$ Si lo hacemos igual a cero, obtenemos un extremo real en $x=4$ correspondiente a $a=4, b=2$ y un valor de $5\sqrt{5}$ . El análisis de la segunda derivada muestra que se trata de un mínimo.