Demuestre que esta EDP puede reducirse a la ecuación del calor

Question

Consideremos la ecuación diferencial parcial:

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + a \frac{\partial u}{\partial x} + bu$$

para la función $u (x; t)$ donde $a$ y $b$ son constantes.

Utilizando la sustitución de la forma $u(x,t) = \exp(\alpha x+\beta t)v(x,t)$ ;

Y la elección adecuada de las constantes alfa y beta, muestran que la EDP puede reducirse a la ecuación del calor

$$\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial^2v}{\partial x^2}.$$

Answer 1

Podría comparar las ecuaciones $$\beta v+ \frac{\partial v}{\partial t} \\=\alpha^2v+\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+2\alpha\frac{\partial v}{\partial x}+a\alpha v+a\frac{\partial v}{\partial x}+bv$$ y la antigua y elija la constante que se ajuste a su solicitud.