Razón de la ruptura de una bonita identidad binomial

Question

Uno tiene las bonitas identidades $${xy\choose 1}={x\choose 1}{y\choose 1},$$ $${xy+1\choose 2}={x+1\choose 2}{y+1\choose 2}+{x\choose 2}{y\choose 2}$$ y $${xy+2\choose 3}={x+2\choose 3}{y+2\choose 3}+4{x+1\choose 3}{y+1\choose 3}+{x\choose 3}{y\choose 3}.$$

(La prueba es esencialmente trivial interpretando ${z\choose k}$ como un polinomio de grado $k$ .)

Esta secuencia de identidades se detiene: No parece haber una expresión agradable de ${xy+k-1\choose k}$ como una combinación lineal de ${x+k-i\choose k}{y+k-i\choose k},i=1,\ldots,k$ pour $k\geq 4$ .

¿Existe una buena razón para esta ruptura? (Probablemente una pregunta mejor es: ¿Hay alguna razón para que estas identidades se mantengan para $k=2$ y, especialmente, para $k=3$ ?)

Answer 1

$\def\des{\operatorname{des}}$ Dejemos que $\des(\pi)$ sea el número de descensos de la permutación $\pi$ . Entonces, para cualquier permutación $\pi$ en $S_k$ tenemos \begin{equation*}\binom{xy+k-\des(\pi)-1}{k} =\sum_{\sigma\tau=\pi}\binom{x+k-\des(\tau)-1}{k} \binom{y+k-\des(\sigma)-1}{k}.\tag{$*$}\label{star} \end{equation*}

Si $\pi$ es la identidad entonces $\des(\pi)=0$ por lo que el lado izquierdo de \eqref {estrella} es $\binom{xy+k-1}{k}$ y a la derecha, $\tau=\sigma^{-1}$ . Las identidades de la OP corresponden al hecho de que si $k\le 3$ entonces el número de descensos de $\pi$ es el mismo que el número de descensos de $\pi^{-1}$ pero esto no es cierto para $k>3$ . Esto también explica la aparición de los números eulerianos como coeficientes para $k\le3$ .

Por lo que sé, la primera prueba de \eqref {estrella} está en Bogdan Mielnik y Jerzy Plebanski, _Aproximación combinatoria a los exponentes de Baker-Campbell-Hausdorff , Annales de l'I. H. P., sección A, tomo 12, nº 3 (1970), pp. 215-254 (véase la ecuación (11.10)); pueden encontrarse más referencias en Jason Fulman y T. Kyle Petersen, Barajado de cartas y particiones P_ arXiv:2004.01659 [math.CO].