Lugar de los puntos $(a,b)$ tal que el círculo $(x-a)^2+(y-b)^2=b^2$ es tangente a la parábola $y=x^2$

Question

Dejemos que $P \colon\; y = x^2$ sea una parábola y $C_{a,b} \colon\; (x-a)^2 + (y-b)^2 = b^2$ sea un círculo.

Supongamos que $C_{a, b}$ contacta con la parábola $P$ con un punto, es decir, $C_{a, b}$ tangencial a $P$ .

¿Es fácil describir el lugar del centro $(a,b)$ de $C_{a,b}$ ?

Parece que una complicada ecuación cuártica $f(a, b)$ debería ser la respuesta, pero sería alguna presentación simple a través de una ecuación polar o algo más.

Answer 1

Es ventajoso adoptar la parametrización. Encontrarlo es (debe tomarse :) ) El locus es mejor dejarlo en su forma paramétrica.

La introducción de una constante para la verificación de la dimensión física también es beneficiosa durante el cálculo.

$$ x_p= 2ft,\, y_p= ft^2;\, \tag1 $$

$$ y_p =\frac{x_p^2}{4f} \,f=\frac14;\,\frac{dy}{dx}= \frac{dy/dt}{dx/dt}= \frac{2ft}{2f} =t $$ Así que $t$ es la pendiente $= \tan \phi $

Se quiere que la distancia perpendicular del Locus a la parábola sea la $y-$ coordenada cuando el círculo toca tanto el $x-$ eje y parábola $y_p=x_p^2/(4f) $ .

Para encontrar el Locus de contacto resta y suma los componentes del radio del círculo de contacto $\rho$ con una condición determinada

$$y_p-\rho \cos \phi = \rho \,;\quad \rho= \frac{y_p}{1+\cos \phi} $$

Para trabajar $(x_c,y_c)=(a,b)$ ( Prefiero retener $(x,y)$ para las variables)

$$ y_c= y_p- \rho \cos \phi= y_p( 1- \frac{\cos \phi}{1+\cos \phi}) = \frac{y_p}{1+\cos \phi}$$ $$ x_c= x_p+ \frac{y_p \sin \phi}{1+\cos \phi}$$

O en términos de $t$ tenemos

$$ x_c = 2 ft + \frac{f t^3}{\pm \sqrt{1+t^2} +1}\,;\ y_c = \frac{ ft^2 \sqrt{1+t^2}} {\pm \sqrt{1+t^2} +1} ; \tag2 $$

Dos loci que surgen se esbozan arriba debido a $\pm$ signos de raíz cuadrada que surgen de las relaciones trigonométricas. ( signo + para la curva 1, signo - para la curva 2 ). Una especie de "bisectriz del ángulo curvilíneo" en cada caso, si se quiere.

Eliminación de $\phi$ da como resultado un polinomio de cuarto orden.. (se deja como ejercicio por si/cuando se interesa más).

Answer 2

Esto es un poco complicado, pero se puede calcular utilizando la teoría de bases de Gröbner y las órdenes de eliminación. Ver Cox, Little, O'Shea "Ideals, Varieties, and Algorithms" para los detalles de la teoría.

Comenzamos escribiendo algunas ecuaciones:

Supongamos que tenemos un punto $(a,b)$ y es tangente a la curva $y = x^2$ en el punto $(t,t^2)$ . Entonces

1. $(t - a)^2 + (t^2 - b)^2 = b^2$ dice que el círculo y la parábola se cruzan en $t$

2. La pendiente de la parábola en $(t,t^2)$ es $2t$ y la pendiente del círculo en el punto $(t, t^2)$ es $-\frac{t-a}{t^2 - b}$ (utilizar la diferenciación implícita).

Por lo tanto, nuestras dos ecuaciones son

1. $(t - a)^2 + (t^2 - b)^2 - b^2 = 0$ y
2. $2t(t^2 - b) + (t - a) = 0$ (es importante escribir estas ecuaciones como "polinomio = 0" con el fin de alimentar al ordenador).

Ahora, utilizando Macaulay2 ( sistema en línea aquí ), tenemos la siguiente sesión:

i1 : R = QQ[t,a,b]

o1 = R

o1 : PolynomialRing

Le decimos a Macaulay2 que nuestras variables son t, a y b y que estamos trabajando con ecuaciones con coeficientes racionales.

i2 : I = ideal( (t - a)^2 + (t^2 - b)^2 - b^2, 2*t*(t^2 - b) + (t - a) )

o2 : Ideal of R

Le decimos a Macaulay2 que el sistema de ecuaciones se llamará "I".

i3 : J = eliminate(t, I)

              6      4 2      2 4      4       2 3    4      2 2     2
o3 = ideal(16a  - 32a b  + 16a b  - 40a b - 24a b  + a  + 12a b  - 2a b)

o3 : Ideal of R

Le decimos a Macaulay2 que escriba el sistema de ecuaciones sin utilizar la variable t.

i4 : primaryDecomposition J

             2           4      2 2      4      2       3    2      2
o4 = {ideal a , ideal(16a  - 32a b  + 16b  - 40a b - 24b  + a  + 12b  - 2b)}

o4 : List

Le decimos a Macaulay2 que divida el ideal en componentes irreducibles.

Macaulay2 nos ha dicho que el locus consta de dos componentes. El primero es el conjunto $a^2 = 0$ (que nos da todos los círculos que son tangentes a $(0,0)$ ). La segunda es la ecuación cuártica

$$ \boxed{16a^4 - 32a^2b^2 + 16b^4 - 40a^2b - 24b^3 + a^2 + 12b^2 - 2b = 0.} $$

Este es el aspecto del locus (en negro)

Voir https://www.desmos.com/calculator/p5q7ezcvkg para una versión interactiva.

Obsérvese que hay dos componentes del lugar geométrico real (dependiendo de qué lado del círculo se produzca la intersección de la tangente).

También se puede resolver para $a$ y $b$ en términos del parámetro de intersección $t$ . (El mismo cálculo en Macaulay2, pero eliminando a o b en lugar de t). Esto da como resultado

$$ \boxed{a = \frac{1}{2} \left(t\pm\sqrt{4 t^4+t^2}\right), b = \frac{1}{4} \left(4 t^2\pm\sqrt{4 t^2+1}+1\right).} $$

*Toma $+,+$ y $-,-$ pour $t \le 0$ y tomar $+,-$ y $-,+$ pour $t \ge 0$ .