¿Existe un polinomio $p(x) \in \mathbb C[x]$ tal que $p(x) \notin \mathbb R[x]$$p(x)p(-x)=p(x^2)$?

Question

¿Existe un polinomio $p(x) \in \mathbb C[x]$ tal que $p(x) \notin \mathbb R[x]$$p(x)p(-x)=p(x^2)$ ?

He notado que si $a_n$ es la principal co-eficiente de $p(x)$$a_n=(-1)^n $ , por lo que el líder co-eficiente no puede ser imaginario ; también se $p(0)^2=p(0)$ por lo que el término constante también es real . Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

He aquí un ejemplo. Deje $\zeta=e^{2\pi i/7}$ y deje $p(x)=(\zeta-x)(\zeta^2-x)(\zeta^4-x)$. Desde $\zeta$ es una raíz de $p$ pero $\bar{\zeta}$ no es, $p$ no tiene coeficientes reales. Ahora note que $(\zeta^4)^2=\zeta$, por lo que la cuadratura mapa permutes las raíces de $p(x)$. Podemos utilizar esto para calcular \begin{align*} p(x^2)&=(\zeta-x^2)(\zeta^2-x^2)(\zeta^4-x^2)\\ &=(\zeta^4-x)(\zeta^4+x)(\zeta-x)(\zeta+x)(\zeta^2-x)(\zeta^2+x)\\ &=(\zeta-x)(\zeta^2-x)(\zeta^4-x)(\zeta+x)(\zeta^2+x)(\zeta^4+x)\\ &=p(x)p(-x). \end{align*}

Más generalmente, si $p(x^2)=p(x)p(-x)$, entonces el conjunto de raíces de $p$ debe ser cerrado bajo el cuadrado, y también para cada raíz de $p$ al menos uno de sus raíces cuadradas también debe ser una raíz de $p$. Desde $p$ sólo puede tener un número finito de raíces, de ello se sigue que la única raíces $p$ puede tener son $0$ y las raíces de la unidad de orden impar. Para arreglar eso $p$ no tiene coeficientes reales, entonces usted sólo tiene que encontrar una colección de raíces de la unidad de orden impar, que es cerrado bajo cuadrar, pero no en virtud de la conjugación.

Explícitamente, podemos decir lo siguiente. Deje $\zeta\in\mathbb{C}$ ser $0$ o una raíz de la unidad de orden impar y deje $S(\zeta)=\{\zeta^{2^k}:k\in\mathbb{N}\}$. A continuación, $S(\zeta)$ es finito y $s\mapsto s^2$ es un bijection de $S(\zeta)$ a sí mismo. Definir $p_\zeta(x)=\prod_{s\in S(\zeta)}(s-x)$. El mismo argumento de $\zeta=e^{2\pi i/7}$ muestra que $p_\zeta(x^2)=p_\zeta(x)p_\zeta(-x)$. Por otra parte, $p_\zeta(x)$ tiene coeficientes reales iff $\bar{\zeta}\in S(\zeta)$. (Si $\zeta$ es una primitiva $n$th raíz de la unidad, a continuación, $\bar{\zeta}\in S(\zeta)$ fib $-1$ es una potencia de $2$ mod $n$.)

Por el contrario, supongamos $p(x)$ es cualquier polinomio tal que $p(x^2)=p(x)p(-x)$. Entonces si $\zeta$ es cualquier raíz de $p$, como se discutió anteriormente $\zeta$ debe ser $0$ o una raíz de la unidad de orden impar. Por otra parte, dado que las raíces de $p$ son cerrados bajo el cuadrado, cada elemento de la $S(\zeta)$ es una raíz de $p$. De ello se desprende que $p$ es divisible por $p_\zeta$, y, a continuación, $q(x)=p(x)/p_\zeta(x)$ también satisfacer $q(x^2)=q(x)q(-x)$. Por inducción sobre el grado de $p$, así pues, podemos concluir:

Un polinomio $p(x)\in\mathbb{C}[x]$ satisface $p(x^2)=p(x)p(-x)$ fib es un producto de polinomios $p_\zeta(x)$ donde $\zeta$ es $0$ o una raíz de la unidad de orden impar.