¿Cómo puedo demostrar que un operador en $L^p[0,1]$ tomando $a.e.$ secuencia convergente a una $a.e.$ ¿la secuencia convergente es siempre continua?

Question

Supongamos que $T$ es un operador sobre $L^p[0,1]$ que lleva $a.e.$ secuencias convergentes a $a.e.$ secuencias convergentes, es decir, si $f_n\rightarrow f$ $a.e.$ entonces $Tf_n\rightarrow Tf$ $a.e.$ . Estoy tratando de mostrar que $T$ es continua en $L^p$ norma. No creo que ninguno de $a.e.$ ou $L^p$ la convergencia está implícita en la otra. He intentado utilizar el teorema del gráfico cerrado, pero sin éxito. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

$L^p$ la convergencia implica la convergencia en la medida. La convergencia en la medida implica la convergencia a.e. de una subsecuencia. Utilizando esto se puede aplicar el Teorema del Grafo Cerrado, ya que si $(f_n,Tf_n)\to(f,g)$ , entonces hay una subsecuencia $f_{n_k}$ tal que $f_{n_k}\to f$ a.e., por lo tanto por su hipótesis tiene $Tf_{n_k}\to Tf$ a.e.. También tiene una subsecuencia de $Tf_{n_k}$ convergiendo a.e. a $g$ Así que $Tf=g$ .