Derivar la fórmula del coseno de la diferencia de dos ángulos a partir de la fórmula del producto punto

Question

Mi libro dice que:

La fórmula del coseno de la diferencia de dos ángulos se deduce como una aplicación del producto escalar de dos vectores:

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

A partir de esta fórmula, podemos deducir la fórmula del seno de la diferencia:

$$\sin(\alpha-\beta)=\cos[\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta)]=\\\cos[\frac{\pi}{2}-\alpha-(-\beta)] =\\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos(-\beta)+\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin(-\beta)$$

$$\\\\$$ $$\\\\\\\\\\\\\sin(\alpha-\beta )= \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

Deduce la siguiente expresión a partir de las fórmulas anteriores:

• $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

Tengo dos preguntas:

1. No entiendo qué quiere decir mi libro con

La fórmula del coseno de la diferencia de dos ángulos se deduce como una aplicación del producto escalar de dos vectores:

¿Podría explicarme qué significa esto?

2. ¿Cómo puedo resolver el problema planteado?

Answer 1

Si tienes dos vectores $v=(v_1,v_2)$ y $w=(w_1,w_2)$ entonces su producto punto es $$v \cdot w = v_1 w_1 + v_2 w_2.$$ Además, también tenemos $$v \cdot w = \|v\| \|w\| \cos \theta$$ donde $\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ , $\|w\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}$ y $\theta$ es el ángulo entre $v$ y $w$ . Prueba aquí .

Ahora, considere $v=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ y $w=(\cos \beta, \sin \beta)$ . ¿Ves ahora por qué la fórmula de $\cos(\alpha-\beta)$ ¿a continuación? Pista: tenemos $\|v\|=\|w\|=1$ y $\theta=\alpha-\beta$ .

---

Para su segunda pregunta, tenga en cuenta $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-(-\beta))$ , entonces aplica tu fórmula para el coseno de una diferencia de ángulos, y luego utiliza el hecho de que $\sin$ es una función impar, y $\cos$ es una función par. Esto se ha hecho para usted en los comentarios.

Answer 2

Dibuja dos vectores de posición, $\mathbf{v}_1$ y $\mathbf{v}_2$ con magnitud unitaria y con ángulos $\alpha, \beta$ a lo positivo $x$ -eje. Entonces el ángulo entre ambos es $\alpha - \beta$ (suponiendo que $\alpha > \beta$ w.l.o.g). Pero $\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2$ es el coseno del ángulo entre ellos. Así que $\cos (\alpha - \beta) = \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2$ .

Pero recuerda que los dos vectores se encuentran en el círculo unitario y tienen componentes $\mathbf{v}_1 = \cos \alpha \mathbf{i} + \sin \alpha \mathbf{j}$ y $\mathbf{v}_2 = \cos \beta \mathbf{i} + \sin \beta \mathbf{j}$ . Por la definición del producto punto $$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta.$$

---

Para resolver el problema dado: observe que $\beta \mapsto -\beta$ da $$\cos (\alpha - (-\beta)) = \cos \alpha \cos (-\beta) + \sin \alpha \sin (-\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta)$$ utilizando la rareza de $\sin$ y la uniformidad de $\cos$ .

Answer 3

El producto escalar de vectores $a=(a_1,a_2)$ y $b=(b_1,b_2)$ viene dada por las dos fórmulas (equivalentes demostrables mediante la regla del coseno, véase aquí ) $$ a \cdot b = a_1b_1+a_2b_2 = \sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2} \cos{\theta}, $$ donde $\theta$ es el ángulo entre $a$ y $b$ .

Para usar esto para deducir la regla del coseno, elige los vectores unitarios $$ a=(\cos{\alpha},\sin{\alpha}), \qquad b=(\cos{\beta},\sin{\beta}). $$ $a$ hace que el ángulo $\alpha$ con $(1,0)$ , $b$ hace que el ángulo $\beta$ con el mismo vector, y está claro, ya que estos ángulos están ambos en la misma dirección (uno va en sentido contrario a las agujas del reloj desde $(1,0)$ en ambos casos), que el ángulo entre este $a$ y esto $b$ es $\beta-\alpha$ (o $\alpha-\beta$ pero el coseno es par, así que no hay diferencia). Aplicando las fórmulas del producto punto se obtiene $$ 1\cdot 1 \cdot \cos{(\alpha-\beta)} = a\cdot b = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}, $$ según sea necesario.

La última fórmula se puede encontrar sustituyendo $\beta$ por $-\beta$ en esta fórmula, y utilizando que el seno es impar y el coseno es par.