Lewis escribió, pero nunca publicó, un artículo muy influyente que establecía los fundamentos de la teoría multiplicativa para los funtores de Mackey. El artículo se llama "The Theory of Green functors" y El archivo de papel de Doug Ravenel tiene una copia escaneada . La fecha que aparece es 1980, y hay numerosas referencias a ella en la literatura. De la introducción:
Así, este proyecto se convirtió, para los análogos de los anillos, en un borrador equivalente a un texto de licenciatura sobre los fundamentos de la teoría de anillos.
Tengo la firme sospecha de que ésta es una de las obras influyentes que el profesor May tenía en mente. Son anteriores a los trabajos de Tambara sobre funtores de Green que también poseen una transferencia multiplicativa (ahora "funtores de Tambara").
En una nota más personal, una vez mantuve correspondencia con el profesor Lewis haciéndole algunas preguntas, sobre todo tratando de obtener algunos métodos de cálculo efectivos en el álgebra homológica de los funtores de Mackey. Me respondió muy amablemente. Adjuntaré algunos fragmentos relevantes de su correo electrónico:
Lo único que puedo sugerir es una vieja idea mía que tengo intentado explorar durante años, pero que nunca he llegado a a mirar. Si hay algún contexto en el que esta idea pueda ser útil, es probablemente el que usted está preguntando [...]
De todos modos, asigne enteros no negativos a los subgrupos de un grupo finito por asignando 0 al subgrupo trivial, 1 a cada uno de los subgrupos cíclicos de orden primo, y así sucesivamente para que el número asignado a cada subgrupo es la longitud de la cadena más larga de subgrupos que comienza con empezando por ese subgrupo y terminando por el grupo trivial. Filtrar cualquier functor Mackey de Mackey M mirando el núcleo de restricción a la colección de subgrupos subgrupos una muesca por debajo del grupo entero, el núcleo de la restricción a todos los subgrupos 2 muescas por debajo de la parte superior, y así sucesivamente. Esto da una filtración natural en toda la categoría de Mackey funtores Mackey [...] es una idea muy simple que mucha gente puede haber ya ha intentado y ha encontrado inútil. Por otro lado, puede ser que nadie lo haya intentado porque todo el mundo asumió que alguien más lo había lo había intentado o porque nadie pudo conseguir una descripción útil [...]
Independientemente de los detalles, creo que el problema que Lewis aborda aquí es uno que sigue estando muy presente en la teoría de la homotopía estable equivariante. A saber, cuando se trabaja con funtores de Mackey y Green, a menudo se quiere inducir sobre subgrupos y tratar de filtrar los cálculos por otros más simples. En la teoría de la homotopía estable equivariante a menudo lo hacemos utilizando técnicas de "separación de isotropía", que nos permiten atacar un subgrupo a la vez (véase, por ejemplo, el artículo de Greenlees-May " Algunas observaciones sobre la estructura de los funtores de Mackey "). Sin embargo, hasta donde yo sé, nadie ha conseguido empaquetar esta información de separación isotrópica de forma que el concepto y el cálculo sean más accesibles en el álgebra homológica equivariante (por ejemplo, utilizando dichas filtraciones para producir secuencias espectrales con $E_2$ -términos).
Si te parece que vale la pena seguir, no dudes en hacerlo. No es probable que pensar más en ello pronto.
Por desgracia, esto es de febrero de 2006, y él falleció unos tres meses después; lamento no haber tenido la oportunidad de hablar más.
