Dejemos que $F$ sea un campo numérico totalmente real sobre $\mathbb Q$ de grado $m$ y que $\mathcal O_F$ sea su anillo de enteros. Por el teorema de la unidad de Dirichlet sabemos que $\mathcal O_F^* \cong \{\pm 1\} \times \mathbb Z^{m-1}$ . Sea $u \in \mathcal O_F^*$ ser de orden infinito. Me interesa el grupo generado por $\{ \sigma_j(u) \mid 1\le j \le m \}$ donde $\sigma_j$ son los $m$ incrustaciones reales de $F$ . ¿Es este grupo siempre de rango $m-1$ (después de dividir la torsión potencial)?
Respuesta
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La respuesta es no. Tomemos un campo cuaternario totalmente real con un subcampo cuadrático, y dejemos que $u$ sea la unidad fundamental del subcampo cuadrático. Para campos de grado primo, busca en Google las unidades de Minkowski y consulta el libro de Narkiewicz sobre teoría algebraica de números.
