Prueba sencilla de la identidad de Euler $\exp{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

Question

Mi pregunta es muy simple. Sabemos que si definimos la función exponencial en $\mathbb{C}$ entonces definimos la parte real y la parte imaginaria de $\exp{it}$ como $\cos{t}$ y $\sin{t}$ .

Así que si asumimos que conocemos la definición de las funciones trigonométricas y la función exponencial no como una serie sino para la exponencial como solución de la ecuación diferencial $y'-y=0$ entonces mi pregunta es

¿Cómo puedo explicar esta relación (intrínsecamente) de forma sencilla a un estudiante de bachillerato, es alguna interpretación física de esta fórmula?

o podemos dar otra pregunta equivalente (en mi sentido)

¿Cómo se puede demostrar la relación de Euler? y ¿Cuál fue la prueba original del propio Euler?

Answer 1

Tengo dos argumentos favoritos que deberíamos tener $\exp (i\theta)=\cos \theta +i\sin \theta$ de verdad $\theta$ . La primera está estrechamente relacionada con el vídeo de Mathologer e a la pi i para dummies y el segundo se trata con algo más de detalle en II.2 "Argumento de la partícula en movimiento" en Análisis visual de complejos . Finalmente, concluyo con un resumen de cómo lo hizo Euler, de Cómo lo hizo Euler por Ed Sandifer para MAA Online.

1. Argumento del límite

Muchos estudiantes de secundaria son conscientes de que $e=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ . Para los verdaderos $r$ Algunos pueden conocer el hecho de que $e^r=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n$ . Podemos declarar por decreto que esto servirá como definición para todos los complejos $r$ . Entonces tenemos $e^{i\theta}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left(1+\dfrac{i\theta}{n}\right)^n$ . Ahora sólo tenemos que utilizar las propiedades geométricas de la multiplicación compleja para argumentar que $e^{i\theta}$ tiene una magnitud $1$ y el argumento/ángulo $\theta$ .

Magnitud $1$

$\left|e^{i\theta}\right|=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left|1+\dfrac{i\theta}{n}\right|^n=\sqrt{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left(1+\dfrac{\theta^2}{n^2}\right)^{n}}$ . Esto es ciertamente no menos que $1$ . Sin embargo, como para $n>\dfrac{\theta^2}{r}$ tenemos $\dfrac{r}{n}>\dfrac{\theta^2}{n^2}$ no puede ser más que $\sqrt{e^r}$ para cualquier $r$ por lo que el límite es $1$ (al menos si existe). Por lo tanto, $e^{i\theta}$ se encuentra en el círculo unitario.

Ángulo $\theta$

Al calcular $\left(1+\dfrac{i\theta}{n}\right)^n$ por el hecho de ser fijo $n$ geométricamente, podemos dibujar un triángulo rectángulo con vértices en $0$ , $1$ y $1+\dfrac{i\theta}{n}$ . Entonces un triángulo en la hipotenusa, con un nuevo vértice en $(1+\dfrac{i\theta}{n})^2$ . Luego un nuevo triángulo... Esto produce algo que se parece a

Puede manipular esta espiral en un pequeño applet de geogebra que hice .

Suponiendo que $\theta>0$ El $k^{\text{th}}$ el triángulo tiene un cateto alejado del origen de longitud $\dfrac{\theta}{n}\left|1+\dfrac{i\theta}{n}\right|^{k-1}$ . Para $n$ grande, el perímetro exterior de esta espiral es intuitivamente cercano a $\theta$ desde $\left|1+\dfrac{i\theta}{n}\right|$ está muy cerca de $1$ , por lo que cada factor como $\left|1+\dfrac{i\theta}{n}\right|^{k-1}$ está bastante cerca de $1$ , de modo que es como si añadiéramos $n$ términos de $\dfrac{\theta}{n}$ . Argumentar que más formalmente puede requerir el cálculo o álgebra inteligente después de la suma de la serie geométrica finita se calcula para ser $\dfrac{\dfrac{\theta}{n}\left(\left|1+\dfrac{i\theta}{n}\right|^{n}-1\right)}{\left|1+\dfrac{i\theta}{n}\right|-1}$ .

Si $0\le\theta<2\pi$ , entonces el perímetro que se aproxima $\theta$ le da una longitud de arco, y por lo tanto un ángulo, de $\theta$ alrededor del círculo de la unidad, como se desee. Si $\theta>2\pi$ entonces si esperamos o comprobamos que $e^{i\theta}e^{i\rho}=e^{i(\theta+\rho)}$ con nuestra definición, entonces se puede obtener el ángulo deseado sumando/restando el múltiplo correspondiente de $2\pi$ obtenemos el resultado deseado.

2. Argumento de la partícula en movimiento

Un estudiante que haya cursado la mayor parte de un primer año de Cálculo puede ser capaz de apreciar este argumento basado en una función vectorial y derivadas. (Para este argumento de la partícula en movimiento, estoy citando en gran medida otra respuesta mía de MSE .)

Consideremos una partícula que se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario en el plano complejo (empezando en $1+0i$ ) a la velocidad de la unidad. Por la definición de radianes y de seno y coseno, su posición en el plano complejo en el momento $t$ viene dada por $\mathbf{s}\left(t\right)=\cos\theta+i\sin\theta$ . Como la tangente a una circunferencia forma un ángulo recto y la multiplicación por $i$ gira las cosas en sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo recto ( $x+iy$ se envía a $-y+ix$ ) tenemos $\mathbf{s}'\left(t\right)=ki\mathbf{s}\left(t\right)$ para algún número real positivo $k$ . Como va a velocidad unitaria, tenemos $\left|\mathbf{s}'\left(t\right)\right|=1$ para que $k=1$ como $\left|\mathbf{s}\left(t\right)\right|=\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=1$ .

Ahora sólo tenemos que encontrar una función compleja donde $\mathbf{s}\left(0\right)=1$ y $\mathbf{s}'\left(t\right)=i\mathbf{s}\left(t\right)$ . La función exponencial es su propia derivada para entradas reales, y podemos declarar por decreto que debería seguir funcionando para entradas complejas. Entonces la regla de la cadena para la diferenciación nos dice que podemos usar $\mathbf{s}\left(t\right)=e^{it}$ .

3. Cómo lo hizo Euler

Esto es sólo una paráfrasis de algunos de Cómo lo hizo Euler por Ed Sandifer - en particular, las partes en las que parafrasea de Euler Introducción . Hay que tener en cuenta que el trabajo de Euler estaba en latín, utilizaba diferentes variables y no tenía los conceptos modernos de infinito.

Usaré $\mathrm{cis}\theta$ para indicar $\cos\theta+i\sin\theta$ . Euler dedujo (posiblemente basándose en el trabajo de DeMoivre) que $(\mathrm{cis}z)^n=\mathrm{cis}(nz)$ para un número entero (¿positivo?) $n$ . Entonces deriva $$\cos(nz)=\dfrac{(\mathrm{cis}(z))^n+(\mathrm{cis}(-z))^n}{2}\text{ and }\sin(nz)=\dfrac{(\mathrm{cis}(z))^n-(\mathrm{cis}(-z))^n}{2i}\text{.}$$

Luego utiliza las expansiones de la serie de Maclaurin para $\sin$ y $\cos$ para convertirlos en algo parecido a $$\cos(\theta)=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\dfrac{\left(1+\dfrac{i\theta}{n}\right)^n+\left(1-\dfrac{i\theta}{n}\right)^n}{2}\text{ and }\sin(\theta)=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\dfrac{\left(1+\dfrac{i\theta}{n}\right)^n-\left(1-\dfrac{i\theta}{n}\right)^n}{2i}\text{.}$$

Entonces utilizó el " $e^r=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^n$ " idea de convertirlas en $$\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\text{ and }\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\text{.}$$ Entonces es sólo un poco de álgebra para llegar a $e^{i\theta}=\mathrm{cis}\theta$ .

Answer 2

Una forma es definir la función $$f(x)=e^{-ix}\left(\cos x+i\sin x\right)$$ Diferenciación por $x$ rinde $$f'(x)=-ie^{-ix}\left(\cos x+i\sin x\right)+e^{-ix}\left(-\sin x+i\cos x\right)=0$$ (donde asumimos que $i$ actúa como un escalar real en la diferenciación). Esto significa que $f$ es constante, y por supuesto $f(0)=1$ . Así que $f(x)=1$ para todos $x$ , lo que implica $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ .

Answer 3

Dejemos que $n$ sea el número de partículas elementales en el universo. Entonces $$ \begin{aligned} e^{i\theta}& = \left(1+\frac{i\theta}{n}\right)^n \\&= 1+ n \frac{i\theta}{n}+ {n \choose 2} \left(\frac{i\theta}{n}\right)^2 + {n \choose 3} \left(\frac{i\theta}{n}\right)^3 +{n \choose 4} \left(\frac{i\theta}{n}\right)^4 +\ldots \\&= \left(1 - {n \choose 2} \left(\frac{\theta}{n}\right)^2 +{n \choose 4} \left(\frac{\theta}{n}\right)^4 +\ldots\right) + i\left(n \frac{\theta}{n}- {n \choose 3} \left(\frac{\theta}{n}\right)^3+\ldots \right) \\&= 1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{4!}-\ldots \quad + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!}+\ldots \right) \end{aligned} $$ porque $n$ es ENORME. Por lo tanto, $e^{\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$ .

Esto se puede explicar fácilmente a un estudiante de secundaria siempre que le enseñes primero los coeficientes binomiales y las series.

Para explicar la relación intrínsecamente tal y como lo pones, ten en cuenta que la función exponencial ordinaria es un homomorfismo de $\mathbb{R}$ con su estructura aditiva a $\mathbb{R}^+$ con su estructura multiplicativa. Ahora bien, observe que los números complejos unitarios forman un grupo abeliano que es muy similar a los dos grupos anteriores localmente. Por lo tanto, es natural conjeturar que debería haber un homomorfismo desde los reales con su estructura aditiva a los números complejos unitarios con su estructura multiplicativa (¡sólo hay que sumar sus argumentos!). Esta es precisamente la identidad de Euler.

Answer 4

Mi método favorito, con diferencia, para probar $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ Para ello, se utilizan las series de Taylor-MacLaurin para la exponencial natural, el seno y el coseno, se expanden ambos lados y se demuestra la igualdad. $x$ en el cálculo básico, que espero que no sea demasiado difícil de entender para sus alumnos. A juzgar por algunas de las otras respuestas aquí, no debería. La única parte complicada que implica un poco de mano es que tenemos que asumir que la serie de MacLaurin para $e^z$ converge para el imaginario puro $z$ . Lo hace, pero para demostrarlo se requiere un análisis básico complejo, que estoy seguro está fuera del alcance de su audiencia.

La serie MacLaurin: \begin{align} \sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots \\\\ \cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \\\\ e^z&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \end{align}

Sustituir $z=ix$ en la última serie: \begin{align} e^{ix}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^n}{n!}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots \\\\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\cdots \\\\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots\right) \\\\ &=\cos x+i\sin x \end{align}

Me encanta esta forma de demostrar el resultado porque es muy sencilla y limpia: sólo un cálculo. Pero como he dicho, implica la suposición con respecto a la convergencia de la $e^ {z}$ Así que técnicamente, esto no es una prueba completamente rigurosa. Usted tendrá que ser el juez de si es o no un problema o con su público en particular, se puede tomar en la fe.

Answer 5

La mejor manera de demostrar la relación de Euler $$\exp(i\theta) = \cos \theta + i\sin \theta\tag{1}$$ es utilizar la siguiente definición de $\exp(z)$ : $$\exp(z) = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}\tag{2}$$

Utilizaremos el siguiente lema sencillo:

Lema : Si $a_{n}$ es una secuencia de términos reales o complejos tal que $n(a_{n} - 1) \to 0$ como $n \to \infty$ entonces $a_{n}^{n} \to 1$ como $n \to \infty$ .

Prueba : Dejemos que $a_{n} = 1 + b_{n}$ para que $nb_{n} \to 0$ como $n \to \infty$ . Ahora tenemos \begin{align} |a_{n}^{n} - 1| &= |(1 + b_{n})^{n} - 1|\notag\\ &= \left|nb_{n} + \frac{n(n - 1)}{2!}b_{n}^{2} + \cdots\right|\notag\\ &\leq |nb_{n}| + \dfrac{1 - \dfrac{1}{n}}{2!}|nb_{n}|^{2} + \cdots\notag\\ &\leq |nb_{n}| + |nb_{n}|^{2} + \cdots\notag\\ &= \frac{|nb_{n}|}{1 - |nb_{n}|}\notag \end{align} De ello se desprende que $a_{n}^{n} \to 1$ como $n \to \infty$ .

Dejemos que $z = i\theta$ donde $\theta$ es real. Consideremos la siguiente secuencia \begin{align} a_{n} &= \dfrac{1 + \dfrac{i\theta}{n}}{\cos\dfrac{\theta}{n} + i\sin\dfrac{\theta}{n}}\notag\\ &= \left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)\left(\cos\frac{\theta}{n} - i\sin\frac{\theta}{n}\right)\notag\\ &= \cos\frac{\theta}{n} + \frac{\theta}{n}\sin\frac{\theta}{n} + i\left(\frac{\theta}{n}\cos\frac{\theta}{n} - \sin\frac{\theta}{n}\right)\notag\\ \end{align} Tenemos $$ n(a_{n} - 1) = n\left(\cos\frac{\theta}{n} - 1\right) + \theta\sin\frac{\theta}{n} + i\left(\theta\cos\frac{\theta}{n} - n\sin\frac{\theta}{n}\right)$$ y está claro que $n(a_{n} - 1) \to 0$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto, $a_{n}^{n} \to 1$ como $n \to \infty$ y por lo tanto $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{\left(1 + \dfrac{i\theta}{n}\right)^{n}}{\left(\cos\dfrac{\theta}{n} + i\sin\dfrac{\theta}{n}\right)^{n}} = 1$$ o $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n} = \cos \theta + i\sin \theta$$ como se deseaba.