Demuestra que esta función tiene una variación finita

Question

Sabemos que $f$ tiene una variación finita en $[a,b]$ .

Demostrar que $$g(x)= \begin{cases} 0, & x=a\\[8pt] \frac{1}{x-a} \int _{a} ^x f(t) \, dt , & x \in (a,b] \end{cases} $$

tiene una variación finita.

Os agradecería mucho toda vuestra ayuda, ya que estoy empezando el curso de cálculo integral.

Gracias.

Answer 1

La función $g$ es absolutamente continua en cualquier intervalo $[c,b]$ con $a < c < b$ . Intenta utilizar este hecho junto con un límite en $|g(c) - g(a)| = |g(c)|$ .

Answer 2

Desde $f$ es de variación acotada, se puede escribir $f=f_1-f_2$ donde $f_1,f_2$ no son decrecientes. Basta con demostrar que

$$g_i(x)= \begin{cases} 0, & x=a\\[8pt] \frac{1}{x-a} \int _{a} ^x f_i(t) \, dt , & x \in (a,b] \end{cases}$$

son de variación acotada.

Desde $f_i$ es no decreciente, existe algún $c_i$ para que $f_i(x) < 0 \forall x < c_i$ y $f_i(x) \geq 0 \forall x \geq c_i$ . Entonces $g_i$ es o bien [ decreciente en $[a, c_i]$ y aumentando en $[c_i,b]$ ] o estrictamente monótona en $[a,b]$ dependiendo de si $c_i \in (a,b)$ .

En particular $g_i$ es de variación acotada.