Comprender las pruebas que implican la convolución y la integración

Question

Actualmente estoy tratando de entender la siguiente prueba pero hay algunas oscuridades

De la segunda a la tercera línea, ¿por qué $\int_\mathbb{R^n}|f(y)|\Big(\int_{\mathbb{R^n}}|g(x-y)|dx\Big)dy$ igual $\int_\mathbb{R^n}|f(y)|dy\int_{\mathbb{R^n}}|g(x)|dx$ ?

Y aquí no entiendo por qué $\int_{\mathbb{R^n}}|g(x-y)|dy^{1/p'}=\|g\|_1^{1/p'}$ de la tercera a la última línea

Answer 1

A la primera pregunta: Este es el cambio de variables $x\mapsto x-y$ En efecto, $$ \int_{-\infty}^\infty g(x-y)\mathrm dx =\int_{-\infty}^\infty g(x)\mathrm dx $$ Para el segundo, esta es la definición del $L^1$ norma, $$ ||g||_1=\int_{-\infty}^\infty |g(x)|\mathrm dx=\int_{-\infty}^\infty |g(x-y)|\mathrm dx $$

Answer 2

En realidad es bastante fácil: basta con observar que la integral está sobre $y$ y todo el espacio, por lo que desplazarlo por $x$ no hará ninguna diferencia. (En otras palabras, puede sustituir $x-y$ por $y$ ).

Una vez hecho esto, es sólo una cuestión de definición.

Answer 3

El mismo argumento para las dos preguntas: $\int h(x+a) \, dx=\int h(x) \, dx$ para cualquier función integrable $h$ y cualquier $a \in \mathbb R^{n}$ .