Si $f_n \in L^p$ , $f_n \to f$ en medida y $|f_n-f|<C$ para todos $n$ y $x$ en una medida finita. Entonces $f \in L^p$ y $f_n \to f$ en $L^p$

Question

Aquí está el problema completo:

Cómo lo demostré: considere $g_n=|f_n-f|$ . Entonces $g_n\to0$ en medida y $|g_n|<C$ . Así, $g_n$ es uniformemente integrable ya que estamos en una medida finita y por tanto por Vitali $g_n\to0$ en $L^p$ . Ahora $|\|f_n\|_p-\|f\|_p|\leq\|g_n\|$ ahora desde $g_n$ y $f_n$ es integrable conocemos el valor $\|f\|_p$ debe ser finito. QED

Simplemente parece una prueba muy extraña de $f \in L^p$ a mí. Otra que he encontrado es que desde $L^p$ es un espacio vectorial $f_1+f-f_1\in L^p$ y hemos terminado. Pero esto también se siente "antinatural". Siento que debe haber una razón muy simple $f \in L^p$ además de los que he mencionado.

Answer 1

La razón $f=f_1+f-f_1$ es una razón válida y sencilla, ya que $$ \lvert f\rvert^p\leqslant 2^{p-1}\lvert f_1\rvert^p+2^{p-1}\lvert f_1-f\rvert^p\leqslant 2^{p-1}\lvert f_1\rvert^p+2^{p-1}C^p $$ y el lado derecho es integrable ya que $f_1\in L^p$ y el espacio de medida tiene medida finita.