Quiero resolver \begin{cases}c=2a+5b\\d=3a+8b\end{cases} con la sustitución de $a,b$ pero no puede expresar $a$ y $b$ con $c$ y $d$ sólo. Cualquier sugerencia es bienvenida, gracias.
Respuesta
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Intentemos encontrar una expresión para $a$ por sí mismo en términos de $c,d$ . Al hacerlo, debería quedar clara la técnica que utilicé para que puedas hacerlo de nuevo, así como la forma de seguir encontrando similares para $b$ .
Queremos tomar algún tipo de múltiplo de cada una de las dos líneas para que al sumarlas o restarlas, el $b$ desaparece por completo. Para ello, multipliquemos la primera ecuación por $8$ y la segunda ecuación por $5$ ( elegidos porque estos eran los coeficientes de $b$ )
De este modo, tenemos ahora el sistema equivalente:
$$\begin{cases} 8(c) = 8(2a + 5b)\\ 5(d) = 5(3a + 8b)\end{cases}$$
y simplificado
$$\begin{cases} 8c = 16a + 40b\\ 5d = 15a + 40b\end{cases}$$
Ahora, restando una de la otra, tenemos una expresión para $a$
$$(8c - 5d) = (16a + 40b) - (15 a + 40b)$$
$$8c - 5d = a$$
Si fuera necesario, podríamos dividir por el coeficiente de $a$ en este resultado para organizar/simplificar más las cosas, pero en este caso el coeficiente resultó ser $1$ así que no necesitamos hacer mucho más para limpiarlo.
Ahora bien, se podría introducir esta expresión para $a$ en una de las ecuaciones originales para encontrar una expresión similar para $b$ escrito sólo en $c$ y $d$ después de organizarlo, o si lo prefiere, puede realizar pasos para encontrar la expresión de $b$ de esta manera.
Vale la pena hacerles saber que la técnica que empleé aquí se conoce con el nombre de "Método de Eliminación" que, como su nombre lo indica, se realiza "eliminando" una o más de las variables innecesarias a la vez, requiriendo posiblemente múltiples pasos.
A medida que los problemas se complican, con más ecuaciones y más variables, este método sigue funcionando hasta cierto punto, pero puede resultar menos claro qué pasos deben utilizarse en qué puntos para continuar. Existe un enfoque totalmente generalizado que se basa en la misma idea de que se puede seguir el mismo patrón para cualquier problema que requiera poca reflexión y que se puede leer en la página de wikipedia de Eliminación gaussiana . A medida que continúes tus estudios, te encontrarás con muchos escenarios en los que la Eliminación Gaussiana va a ser una herramienta muy poderosa que puede ser utilizada como un paso importante para encontrar una solución al problema, especialmente cuando se estudia Álgebra Lineal.
