Una definición de los grupos de defectos

Question

En la charla de Rouquier de 2006 en el ICM (véase aquí ), da la siguiente definición del grupo de defectos de un bloque $b$ (definición 2.1.2)

Un subgrupo $D$ de $G$ es un grupo de defectos del bloque $b$ si es mínimo entre subgrupos tales que el functor de restricción $D^b(\mathcal OGb)\to D^b(\mathcal OD)$ es fiel. $D$ es entonces único hasta la conjugación y es un $p$ -subgrupo de $G$

(donde estamos en la característica modular $p$ )

Esta no es la definición habitual que uno encuentra, y de hecho la definición en el documento no viene con una referencia. Mi pregunta es :

¿Existen referencias que definan los grupos de defectos de esta manera y que trabajen con esta definición? ¿O al menos algunas referencias que demuestren que esta definición es equivalente a las habituales?

Idealmente preferiría referencias que hicieran lo primero, es decir, que simplemente definieran los grupos de defectos de la misma manera que lo hace Rouquier, y demostraran sus primeras propiedades a partir de esta definición, y luego en algún momento demostraran las otras caracterizaciones - pero lo segundo también está bien.

Answer 1

Dudo que haya referencias que hagan lo primero, y no conozco ninguna que haga lo segundo. La definición de Rouquier es básicamente una reformulación bonita y ligeramente idiosincrásica de la definición estándar de un grupo defectuoso como subgrupo mínimo $D$ de manera que cada $\mathcal{O}Gb$ -módulo es relativamente $D$ -proyectiva.

Sé que no es exactamente lo que pedías, pero aquí tienes un esbozo de por qué la definición de Rouquier es equivalente a las definiciones estándar.

En primer lugar, si $D$ es un grupo defectuoso (o contiene un grupo defectuoso) entonces la teoría estándar de grupos defectuosos da que el epimorfismo natural (dado por la multiplicación) $$\mathcal{O}Gb\otimes_{\mathcal{O}D}\mathcal{O}Gb\to\mathcal{O}Gb$$ de $\mathcal{O}Gb$ -bimodules splits.

Así que para cualquier objeto $X$ , $Y$ de la categoría derivada, el mapa de restricción $$\operatorname{Hom}_{D^b(\mathcal{O}Gb)}(X,Y)\to \operatorname{Hom}_{D^b(\mathcal{O}Gb)}(\mathcal{O}Gb\otimes_{\mathcal{O}D}X,Y)\cong \operatorname{Hom}_{D^b(\mathcal{O}D)}(X,Y)$$ es un monomorfismo (dividido) de $\mathcal{O}$ -módulos. Así que el functor de restricción entre categorías derivadas es fiel.

En segundo lugar, si $D$ no contiene un grupo defectuoso, entonces hay algún $\mathcal{O}Gb$ -Módulo $M$ tal que el epimorfismo natural $\mathcal{O}Gb\otimes_{\mathcal{O}D}M\to M$ no se divide como un mapa de $\mathcal{O}Gb$ -módulos. Sin embargo, se divide como un mapa de $\mathcal{O}D$ -módulos. Tomando el núcleo, obtenemos una breve secuencia exacta $$0\to L\to \mathcal{O}Gb\otimes_{\mathcal{O}D}M\to M\to0$$ de $\mathcal{O}Gb$ -módulos que se dividen en $\mathcal{O}D$ pero no por encima de $\mathcal{O}Gb$ .

En otras palabras, tenemos un elemento no nulo del núcleo del mapa de restricción $$\operatorname{Hom}_{D^b(\mathcal{O}Gb)}(M,L[1]) =\operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}Gb}(M,L) \to\operatorname{Ext}^1_{\mathcal{O}D}(M,L) =\operatorname{Hom}_{D^b(\mathcal{O}D)}(M,L[1]).$$ Así que el functor de restricción entre categorías derivadas no es fiel.