Existencia de isomorfismo del haz vectorial complejo al dual

Question

Sé que para un haz vectorial complejo $E\to X$ tenemos la clase Chern $c_i(E)=(-1)^ic_i(E^*)$ . Por lo tanto, en muchos casos, $E\to X$ et $E^*\to X$ no son isomorfas.

Me pregunto si existe algún haz vectorial complejo no trivial $E\to X$ s.t. $c_i(E)=0$ cuando $i$ es impar? Además, bajo esta condición, si existe algún haz vectorial complejo no trivial $E\to X$ s.t, $E\to X$ et $E^*\to X$ son isomorfos?

Answer 1

Como se muestra aquí existe una biyección entre las clases de isomorfismo de principal $SU(2)$ -sobre una variedad cuatridimensional $X$ (o incluso el complejo CW) y $H^4(X; \mathbb{Z})$ dado por $P \mapsto c_2(P)$ .

Así que sobre cualquier cuatro-manifiesto $X$ y cualquier elección de $c \in H^4(X; \mathbb{Z})$ existe un haz vectorial complejo de rango dos $E$ con $c_1(E) = 0$ et $c_2(E) = c$ . Tenga en cuenta que $c_1(E^*) = -c_1(E) = 0$ et $c_2(E^*) = c_2(E) = c$ Así que $E^* \cong E$ . Si $c \neq 0$ entonces $E\cong E^*$ no es trivial