¿La medida de Haar sobre un grupo profinito es el límite inverso de la medida de conteo sobre sus cocientes?

Question

He oído esto varias veces, aunque nunca he visto un resultado preciso. Supongo que la afirmación precisa se acercaría a:

Dejemos que $N_i$ sea un subgrupo normal de base barrios de la identidad en un grupo profinito $G$ , $\pi_i : G \to G / N_i = G_i$ las proyecciones naturales, y $U$ un conjunto abierto. Entonces $\mu(U) = \lim |\pi_i(U)| / |G_i|$ , donde $\mu$ es la medida de Haar, y $||$ es la medida de recuento en el cociente.

¿Es esto correcto? ¿Qué significa exactamente "lim" allí - límite como una red en los números reales?

Creo que está más o menos claro que tal función es bi-invariante, y tiene $\mu(G) = 1$ . No estoy tan seguro de cómo demostrar que esto es aditivo contable. Está claro para los conjuntos de subgrupos abiertos, pero no veo cómo pasar de ellos a todos los conjuntos abiertos. Supongo que también habría que demostrar algún tipo de regularidad, o tal vez eso se desprende de la maquinaria de la teoría de la medida - no recuerdo muy bien estos detalles de la teoría de la medida.

En cualquier caso, ¡agradecería una referencia o una explicación!

Answer 1

Perdón por la fuente, pero la Wikipedia parece dar lo que quieres:

https://en.wikipedia.org/wiki/Haar_measure#A_construction_using_compact_subsets

Tome A para ser su grupo profinito y el conjunto dirigido de U para ser su $N_i$ 's. La delicadeza de la aditividad contable se resume bastante bien, creo. Weil profundiza en los detalles, pero su exposición parece estar en "L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications" y Google no me mostró una forma fácil de buscar en ese libro.

Answer 2

Añadiré más detalles más tarde, pero esto debería ser una consecuencia de la unicidad en el teorema de extensión de Kolmogorov, que mostrará que el límite de las medidas de recuento es invariante.