Secciones locales de $\mathcal{O}(1)$

Question

Dejemos que $\mathcal{O}(-1)$ sea el haz tautológico sobre $\mathbb{P}^n$ y $\mathcal{O}(1)$ su haz dual, también conocido como haz de hiperplanos. Sé que existe una biyección entre $\Gamma(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(1))$ y $\mathbb{C}[z_0,\dots,z_n]_1$ el conjunto de grados homogéneos $1$ polinomios en $n+1$ variables. De hecho, creo que dadas dos secciones cualesquiera definidas sobre dos conjuntos abiertos afines diferentes de $\mathbb{P}^n$ que la cola también está definida por uno de estos polinomios.

Entonces mi pregunta es, ¿qué podemos decir de una sección sólo definida en uno de los conjuntos abiertos afines? ¿Pueden estas secciones ser arbitrarias o también están determinadas por un funcional lineal?

Editar: MooS ya proporcionó una gran respuesta para el caso geométrico algebraico. Sin embargo, me olvidé de mencionar en el OP que estoy buscando una aproximación holomórfica al problema.

Editar 2: De hecho, dado cualquier conjunto abierto afín $U_i$ de $\mathbb{P}^n$ sería suficiente para mí saber cómo las secciones $\mathcal{O}(1)(U_i)$ en la configuración holomórfica. La respuesta de MooS me hace pensar que estas secciones deben ser de la forma $\frac{f(z_0,\dots,z_n)}{z_i^{\operatorname{deg}f-1}}$ , para $f$ un polinomio homogéneo, igual que en el entorno algebraico, pero no sé cómo demostrarlo.

Por ejemplo, en $U_i$ una sección $s$ está definida por una función $\tilde{s}:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}$ para que $$s([z])=([z],\tilde{s}(z_0/z_i,\dots,z_n/z_i)).$$

Tomando la expansión en serie de $\tilde{s}$ produce naturalmente un polinomio homogéneo siempre que sea finito. E incluso en este caso terminamos con algo de la forma $\frac{g(z_0,\dots,z_n)}{z_i^{\operatorname{deg g}}}$ para $g$ un polinomio homogéneo. ¿Alguna idea sobre cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$ Si $V$ es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, una sección de $\mathcal{O}(1) \to \Proj(V)$ es un funcional lineal $\lambda:V \to \Cpx$ . Fijar una identificación $V \simeq \Cpx^{n+1}$ una sección de $\mathcal{O}(1) \to \Cpx\Proj^{n}$ es un polinomio lineal homogéneo $$ \lambda(Z^{0}, Z^{1}, \dots, Z^{n}) = \lambda^{0}Z_{0} + \lambda^{1}Z_{1} + \dots + \lambda^{n}Z_{n} $$ en el homogéneo coordenadas en $\Cpx\Proj^{n}$ .

En el gráfico afín $U_{j} = \{Z^{j} \neq 0\}$ con coordenadas afines $z_{j}^{i} = Z^{i}/Z^{j}$ se convierte en la función de valor complejo $$ \lambda_{j}(z_{j}^{0}, z_{j}^{1}, \dots, \widehat{z_{j}^{j}}, \dots, z_{j}^{n}) = \frac{\lambda(Z^{0}, Z^{1}, \dots, Z^{n})}{Z^{j}}. $$ En particular, una colección $(\lambda_{j})$ de $n + 1$ funciones afines en $\Cpx^{n}$ se encola en una sección global si y sólo si satisface la fórmula de transición $$ \lambda_{i} = \frac{Z^{j}}{Z^{i}} \lambda_{j},\quad 0 \leq i, j \leq n. $$ (Para mí, la función de transición $g_{ij} = Z^{j}/Z^{i}:U_{i} \cap U_{j} \to \Cpx^{\times}$ define el haz de líneas holomórficas $\mathcal{O}(1)$ .)

Answer 2

Dejemos que $U_i = \{ z_i \neq 0 \} = \{ z_i=1 \}$ . Por definición tenemos que $\Gamma(U_i, \mathcal O_{\mathbb P^n}(1))$ es el grado $1$ -parte de la localización $k[z_0, \dotsc, z_n]_{z_i}$ es decir, las secciones son de la forma $$\frac{f(z_0, \dotsc, z_n)}{z_i^{\deg f -1}}.$$

Después de dejar $z_i=1$ no es otra cosa que un polinomio arbitrario en el $z_j$ 's con $j \neq i$ .

Si quieres pegar estas secciones a una sección global, tienes que asegurarte de que no hay denominadores, es decir $\deg f=1$ . Esto -en la línea de su pregunta- explica por qué las secciones globales están dadas por polinomios lineales.