Necesito ayuda con este problema de combinatoria que he inventado

Question

Somos $8$ amigos y quieres hacer chats de grupo en una aplicación de mensajería que te permite unirte a tantos chats de grupo como quieras. Ahora hay $1$ chat de grupo con todos nosotros $8$ en él, y luego $8$ más chats de grupo con $7$ de nosotros en ella y $1$ desaparecida. Como esto hay chats de grupo con $2$ de nosotros desaparecidos, y luego $3$ que faltan, etc. Hasta que tengamos $2$ de las personas en un chat personal (así $28$ chats personales incluidos en esto).

Así resultó que el número total de chats sería $247$ incluyendo los chats personales $$\sum^8 _{i=2} \binom{8}{i}$$ Ahora la verdadera pregunta es que quiero averiguar cuántos chats $1$ de los amigos ver? Porque no estarían incluidos en muchos de ellos, así que ¿cuántos chats por persona (incluyendo el $7$ chats personales que tienen)? He intentado contarlos pero son demasiados y confusos, ¿hay alguna forma de averiguarlo?

Answer 1

SUGERENCIA:

Un amigo dado está en un chat con cada subconjunto no vacío del conjunto de los otros $7$ amigos. ¿Puedes contarlos?

Answer 2

$\sum_\limits{i=0}^n {n\choose i} = 2^n$

$\sum_\limits{i=2}^8 {8\choose i} = 2^8 - {8\choose 1}- {8\choose 0} = 256 - 8 - 1 = 247$

Baja la mirada a todos los chats que no incluyen al único amigo

$\sum_\limits{i=2}^7 {7\choose i} = 2^7 - {7\choose 1}- {7\choose 0} = 128 - 7 - 1 = 120$

$247-120 = 127$ chats incluyen al único amigo.

Answer 3

Como sugirió @saulspatz, asume que tu amigo ya forma parte del grupo de chat y calcula los otros miembros. Empieza con chats de dos. Así que una persona ya es tu amigo y tenemos que elegir al otro de una posible selección de siete. Esto se puede hacer en

$$N_2 = {7\choose1}=7$$

Igualmente en grupo de tres, tienes que elegir a los otros dos chicos (ya que el tercero es tu amigo). Esto se puede hacer en

$$N_3 = {7\choose2}=21$$

Del mismo modo, en el grupo de cuatro, tienes que elegir a los otros tres chicos. Esto se puede hacer en

$$N_4 = {7\choose23}=35$$

Calculando de forma similar todo el camino hasta el último chat en el que están todos, puedes hacerlo en

$$N_8 = {7\choose7}=1$$

Resumiendo, todos ellos

$$N=\sum_{i=1}^7{7\choose i}=127$$