La curvatura del espacio de Hilbert

Question

Que puede parecer una pregunta tonta, pero:

¿El espacio de Hilbert tiene curvatura, o es un espacio plano? Cómo y por qué?

Answer 1

Este definitivamente no es una pregunta tonta. Si trabajamos en un (lineal) espacio de Hilbert, entonces nuestro producto interior $\langle \cdot,\cdot \rangle$ induce la costumbre natural de la plana (métrica dada por $d(\psi,\phi) = || \psi - \phi ||$). Sin embargo, a menudo nos tomamos el punto de vista de que nuestros estados son elementos de la proyectiva espacio de Hilbert $\mathbb CP^n$. Entonces es más natural considerar la función de distancia $$d_\textrm{proj}(\psi,\phi) =\min_\alpha || \psi - e^{i\alpha} \phi ||$$ O, equivalentemente, $d_\textrm{proj}(\psi,\phi) = \sqrt{2 -2 |\langle \psi,\phi\rangle|}$. Este es, por ejemplo, natural cuando estamos mirando el estado del suelo de un Hamiltoniano: este es, naturalmente, sólo se define a una fase. Podríamos entonces preguntarnos cuánto de nuestro suelo los cambios de estado cuando nos sintonizamos un parámetro en nuestro Hamiltoniano. El de arriba proyectiva función de distancia, a continuación, la natural, la cantidad a mirar (y se convierte en singular en una transición de fase cuántica).

Nuestra función de distancia de curso define una métrica, similar a lo que podría ser utilizado a partir de la relatividad general. De hecho, es la natural de la métrica asociada a $\mathbb CP^n$, llama la Fubini-Estudio de la métrica. Además de que este tiene no trivial de la curvatura. (En el caso de la esfera de Bloch, $n = 1$, que coincide con el esférico métrica en $\mathbb CP^1 \cong S^2$ pero para $n>1$ es mucho más no trivial, por ejemplo, con la métrica dependiendo de la dirección en la que ir.) Esta métrica, por supuesto, también define una función de distancia (definido por tomar el menor geodésica entre dos estados), que resulta ser $$ d_\textrm{FS}(\psi,\phi) = \arccos \left( \left|\langle \psi \right| \phi \rangle| \right) $$ Tenga en cuenta que este es básicamente el ángulo entre los dos estados. Este es el Fubini-Estudio de la distancia entre el $\psi$$\phi$. Mediante la expansión de la $\arccos$ es claro que para $\psi$ cerca de $\phi$ está de acuerdo con $d_\textrm{proj}$ (como debe ser, ya que, por definición, ambos tienen la misma (local) sistema métrico). Pero no están de acuerdo para finitos distancias, y el hecho de que $d_\textrm{FS} \neq d_\textrm{proj}$ muestra que el espacio métrico definido por $d_\textrm{proj}$ no es un interior de espacio métrico/longitud del espacio. (I. e. sus distancias no son dadas por geodesics. Por lo general en la física trabajamos con interior métrica espacios, por lo que podría ser sorprendente ver un pop up donde este no es el caso. Sin embargo, si trabajamos con $d_\textrm{FS}$ entonces se trata de un interno de espacio métrico.)

El Fubini-Estudio a distancia es operativamente muy significativo. Surge naturalmente de la siguiente manera:

1. En primer lugar, el resultado general en las estadísticas que el natural la `distancia" entre dos distribuciones de probabilidad $(p_1,p_2,\cdots)$ $(q_1,q_2\cdots)$ está dado por $\arccos\left( \sum_i \sqrt{p_i q_i} \right)$. Este es el llamado Fisher distancia. (De hecho, es muy conceptual, como se explica aquí por Alioscia Hamma en su conferencia sobre el quantum informativos perspectiva cuántica de las transiciones de fase (en el Instituto Perimeter de 2013).)
2. Por supuesto, sabemos que cualquier función de onda $\psi$ define una distribución de probabilidad si se nos da un observable $A$. Más exactamente $p_n = |\langle \psi| A_n\rangle|$ donde $A_n$ son las funciones propias de $A$. Asimismo, para $\phi$. Así que para un determinado $A$ tenemos, entonces la distancia natural $\arccos\left( \sum_i \sqrt{ \left|\langle \psi| A_i\rangle \langle \phi| A_i\rangle \right|} \right)$.
3. Es entonces natural para definir la operativa de la distancia entre el $\phi$ $\psi$ mediante la maximización de la anterior expresión a través de todas las posibles variables observables $A$. No es difícil mostrar que esto ofrece al $d_\textrm{FS}(\psi,\phi)$.

El Fubini-Estudio de la métrica de distancia tiene muchas buenas propiedades matemáticas (por ejemplo, hace que nuestro proyectiva espacio de Hilbert en lo que denomina Kahler colector, está relacionado con la materia de la diversión como de Hopf fibrations, et cetera). Pero también es una lengua natural de algunos conceptos físicos. Un ejemplo es como ya he insinuado anteriormente: supongamos que disponemos de un espacio de parámetros $\Lambda$, y para cada elección que tiene un Hamiltoniano. I. e. tenemos un mapa de $\Lambda$ en el espacio de Hamiltonianos. A continuación, a través de la tierra del estado de esta forma, se define un mapa de $\Lambda \to P\mathcal H$ (para cada parámetro, hemos estado en nuestro proyectiva espacio de Hilbert). De ahí podemos sacar de nuevo a nuestros Fubini-Estudio de la métrica para definir una métrica en nuestro colector $\Lambda$. Resulta que, después, mirando a la curvatura de esta contiene toda la información física de las transiciones de fase de nuestro modelo.

Otra situación en la que me surge es sobre el enredo. Dado un estado de $\psi$, podemos preguntarnos ¿cuál es el más cercano separables estado cerca. Este Fubini-Estudio a distancia es entonces una medida de enredo (es, de hecho, contiene la misma información que el mayor Schmidt valor de nuestro estado, en caso de que significa algo para ti.). Más en general, se está todavía muy abierta la cuestión de hasta qué punto podemos relacionar el enredo y la geometría, pero me parece una muy prometedora carrera. Para obtener más información en esta dirección, aquí está el libre acceso capítulo por Uhlmann y Crell en la geometría de espacio de estado del libro Enredo y la Decoherencia.

Answer 2

Hilbert espacios son vectorspaces por definición. Si se interpreta un espacio vectorial como un colector (lo que puede hacer), entonces es un plano del colector.

Answer 3

Como comentaristas han indicado espacio de Hilbert es un espacio vectorial. El colector es un espacio con un atlas gráfico de la construcción con los mapas en la superposición de las regiones que definen la relación de los coeficientes y en última instancia de la curvatura.

Ciertamente, es posible pensar en un número finito de dimensiones complejas espacio vectorial que es un local región plana en un espacio curvo. Este tipo de holomorphic colector de la construcción está bien establecida. Si uno quería tener en su Rocinante y proponer algunas líneas generales de la física cuántica en un determinado espacio de Hilbert de los estados, son libres de hacerlo. El finito complejo espacio vectorial puede ser propuesto como un fundamento conjunto de estados que son locales en general a la curvatura del espacio. Para todos los que me conocían a alguien que probablemente ya ha probado este.

Es casi seguro que no será capaz de hacer esto con un infinito dimensional espacio de Hilbert. Las dimensiones infinitas hará la convergencia difícil. En particular, si había algunos atlas gráfico de la construcción con la transición de las funciones de la superposición de que iba a tener dificultades con la definición de la conexión de los coeficientes de una manera coherente. Es por razones similares a la definición de una distancia en un sentido general, en el espacio de Hilbert.

Answer 4

El espacio de Hilbert es un complejo normativa espacio vectorial equipado con un producto interior, donde este producto interior viene de la norma en el espacio (la norma de un vector en el espacio de hilbert es la raíz cuadrada del producto interior del vector con el mismo), pero para una curva en el espacio como el espacio de minkowski vamos a utilizar una métrica de minkowski que difiere de la habitual euclidiana, además también tendremos un Minkowski interior del producto, que es distinto del que se despliega en un espacio de Hilbert.

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