Dejemos que $f\in S_k^{\text{new}}(N,\chi)$ sea una nueva forma, y que $K$ el operador de conjugación definido por $$ (Kf)(z)= \bar{f}(-\bar{z}) $$ ¿Es cierto que $Kf\in S_k^{\text{new}}(N,\bar{\chi})$ ?
Respuesta
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Sí, es cierto.
No es difícil demostrar que $K(f)$ es modular de peso $k$ y el nivel $N$ que es cuspidal, y que su carácter es $\bar\chi$ Supongo que ya lo sabes, ya que has preguntado específicamente por los nuevos formularios.
Así que déjame explicarte por qué $K(f)$ es nuevo siempre que $f$ es. Recordemos que el espacio de las nuevas formas se define como el complemento ortogonal (respecto al producto de Petersson) del espacio de las antiguas formas, que es la suma de las imágenes de los mapas de degeneración $i_{1, p}$ y $i_{2, p}$ de $S_k(N/p, \chi)$ para cada divisor primo $p$ de $N$ .
Así que el argumento es el siguiente:
- Los mapas de degeneración $i_{1, p}$ y $i_{2, p}$ viajar con el mapa $K$ (se desprende de las definiciones).
- Por lo tanto, el espacio de las antiguas formas es una suma de $K$ -subespacios invariantes, por lo que es $K$ -invariante.
- El producto de Petersson es compatible con $K$ : un cálculo fácil (sustituyendo $z \mapsto -\bar{z}$ en la integral) muestra que $\langle K(f), K(g) \rangle = \overline{\langle f, g \rangle}$ .
- Juntando todo esto, deducimos que el espacio de las nuevas formas es preservado por la acción de $K$ .
Este es un ejemplo de un teorema mucho más general, debido a Shimura: si $\sigma$ es cualquier automorfismo de campo de $\mathbf{C}$ y $f = \sum a_n q^n \in S_k(N, \chi)$ , entonces la forma $f^\sigma = \sum \sigma(a_n) q^n$ está en $S_k(N, \chi^\sigma)$ y $f^\sigma$ es nuevo si $f$ es. El argumento anterior lo demuestra cuando $\sigma$ es la conjugación compleja. Sin embargo, si $\sigma$ no es la conjugación compleja (o la identidad) entonces esto es mucho más difícil de demostrar.
