Sustitución de variables para la gamma pdf

Question

Estoy leyendo la estadística matemática y sus aplicaciones de Hogg y Craig, y echando un vistazo a su explicación para derivar el pdf de la gamma me he atascado en su sustitución de variables y parece que no puedo obtener el mismo resultado cuando lo hago, así que realmente agradecería algo de ayuda al respecto.

$$e^{-\lambda t}\frac{\lambda ^{r+s}}{\Gamma(r)\Gamma(s)}\int_0^tu^{r-1}(t-u)^{s-1} \, du$$

A partir de aquí hace la sustitución $v=\frac{u}{t}$ y recibe:

$$t^{r-1}t^{s-1}\int_0^tv^{r-1}(1-v)^{s-1} \, dv$$

Answer 1

\begin{align} \require{cancel} \text{As } & \text{$u$ goes from $0$ to $t,$ $v$ goes from 0 to 1:} \\[8pt] \text{Right: } & \quad\int_0^1 \cdots\cdots\,dv \\[8pt] \text{Wrong: } & \xcancel{\quad\int_0^t\cdots\cdots\, dv\quad{}} \\[8pt] & \int_0^tu^{r-1}(t-u)^{s-1} \, du \\[8pt] = {} & \int_{u\,=\,0}^{u\,=\,t} (vt)^{r-1} (t - vt)^{s-1} (t\, dv) \\[8pt] = {} & \int_{v\,=\,0}^{v\,=\,1} \Big(v^{r-1} t^{r-1} \Big) \Big( (1-v)^{s-1}t^{s-1} \Big) (t \, dv) \\[8pt] = {} & t^{r+s-1} \int_0^1 v^{r-1} (1-v)^{s-1} \, dv \\ & \text{This last step is valid because $t$ does} \\ & \text{not change as $v$ goes from $0$ to $1.$} \end{align}