¿La respuesta a esta integral impropia es ∞ o -∞?

Question

La siguiente integral es discontinua en x = 0, $$\int_0^{1}\frac{1}{x}\:dx$$

Por supuesto, la respuesta adecuada a esta integral es que diverge pero tengo curiosidad por saber si la respuesta previa antes de concluir que esta integral diverge es $\infty$ o $-\infty$ ?

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1) Si sólo se calcula la integral con las reglas de integración estándar, se convierte en lo siguiente:

$${ln|x|_0^1}\: = ln(1) - ln(0) = 0 - = - $$

2) Al aplicar las técnicas de integral impropia, se convierte en lo siguiente:

$$\lim_{t \to 0^+} (ln|x|_t^1) = lim_{t \to 0^+}-ln|t|=-(-) = $$

Observando que ambos divergir independientemente de ser $-\infty$ o $\infty$ Sólo quiero saber qué respuesta previa a la conclusión de la divergencia es correcta, $-\infty$ o $\infty$ ? No sé si mis cálculos son incorrectos, pero creo que hay cierta ambigüedad.

Answer 1

Me parece que usted piensa $$\int_0^1 \, \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| \,\bigg|_0^1 = \ln(1) - \ln(0)$$ es un movimiento válido, pero no lo es. No puedes simplemente enchufar $0$ en el $\ln(x)$ porque $\ln$ es indefinido en $x = 0$ . De hecho, el dominio de $\ln$ es $(0,\infty)$ . Incluso si generalizamos $\ln(x)$ a $\ln|x|$ el dominio ampliado de $\ln|x|$ es $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ .

Por lo tanto, usted debe tomar el límite de la derecha.

Para un ejemplo más claro, considere la integral $$\int_0^1 \frac{1}{x-1} dx.$$ Si evaluamos esta integral sin límites, obtenemos $$\int_0^1 \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1|\,\bigg|_0^1 = -1 - \frac{1}{0},$$ lo cual es claramente ridículo. De nuevo, esto se debe a que el número $1$ no pertenece al dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x-1}$ , de forma similar a como $0$ no pertenece al dominio del logaritmo natural.

Por lo tanto, la forma correcta de evaluar esta integral es tomar un límite a la izquierda: $$\int_0^1\frac{1}{x-1} dx = \lim_{t\to 1^-}\int_0^t \frac{1}{x-1} dx = \lim_{t \to 1^-} \, \ln|x-1|\,\bigg|_0^t = -\lim_{t \to 1^-} \ln|x-1| = -(-\infty) = \infty$$

Editar Si alguna vez ve una notación como $\ln(0)$ o incluso he visto $\ln(\infty)$ , entienden que esto es una abreviatura de algún límite.