Algunas consideraciones físicas básicas pueden ofrecer una explicación parcial (cualitativa). Sin embargo, tal vez esa explicación parcial sea suficiente en este caso (?). La idea es utilizar los conocimientos básicos de la difracción para invertir el proceso. En otras palabras, la pregunta es ¿cuál tendría que ser el campo de entrada para producir el patrón de difracción observado?
Primero, como una especie de referencia, consideremos lo que produciría una cuadrícula de puntos en el patrón de difracción. Para ello, vamos a suponer que la cuadrícula es perpendicular. Al final podemos considerar lo que ocurriría con otros ángulos. En este caso, se puede escribir la retícula de puntos (de forma burda) como el producto de dos funciones $$F(x,y)=F_x(x) F_y(y) . $$ Como son perpendiculares, las transformadas de Fourier que produjeron el patrón de difracción también operarían independientemente en las dos direcciones. Así que el campo de la fuente también sería un producto de dos funciones $$F(x,y)={\cal F}\{g_x(u)\}{\cal F}\{g_y(v)\} . $$ El efecto de un ángulo arbitrario puede introducirse mediante una transformación afín adecuada en las coordenadas. Por los teoremas de Fourier, se deduce entonces que se tendría la transformada afín inversa en las coordenadas de la función fuente.
Ahora consideramos el caso en el que no tenemos una rejilla, sino una X. De nuevo, empezamos suponiendo que los tramos son perpendiculares. En este caso, el patrón de difracción es una superposición $$F(x,y)=F_x(x) + F_y(y) . $$ Así que la fuente tendría que ser una superposición también $$F(x,y)={\cal F}\{g_x(u)\}+{\cal F}\{g_y(v)\} . $$ Pasando a ángulos arbitrarios, se encuentra entonces que el campo fuente sigue siendo una superposición, pero con las orientaciones de las variables independientes de estas funciones no siendo ortogonales entre sí. El campo fuente se produce al reflejarse en la parte frontal de la pantalla del televisor, mientras se multiplica por la reflectancia. La reflectancia es una función periódica en dos direcciones. Por lo tanto, se puede pensar en ello como dos rejillas de difracción, pero en lugar de una multiplicación de sus funciones de transmisión (o funciones de reflectancia), tenemos la adición de sus funciones de transmisión.
Lo siguiente es utilizar la naturaleza cualitativa de la variación de la amplitud a lo largo de los tramos de la X para determinar la naturaleza de las rejillas. Está claro que hay cierta periodicidad en esta función, junto con una envolvente general. Se puede modelar este caso (a lo largo de $x$ por ejemplo) por $$ F_x(x) = h(x)[p(x)\star C(x)] $$ donde $C(x)$ es un tren de pulsos (función de peine); $\star$ representa la convolución; $p(x)$ da la forma de cada pulso; y $h(x)$ es la envolvente global. La transformada inversa de Fourier nos daría entonces la función de rejilla $$g_x(u) = H(u)\star [P(u) C(u)] $$ donde $P(u)$ y $H(u)$ son las transformadas inversas de Fourier de $p(x)$ y $h(x)$ respectivamente, y $C(u)$ es de nuevo una función de peine. En este punto se puede empezar a identificar los orígenes físicos de todas estas funciones: $H(u)$ rige la forma de cada línea de la rejilla, que probablemente está determinada por la forma del píxel de la pantalla del televisor; $P(u)$ da la forma general del campo de la fuente, que probablemente está relacionada con la forma del punto iluminado. Si se puede obtener información cuantitativa sobre el patrón de difracción, se puede incluso determinar con más exactitud cuáles son las formas de estas funciones.
Esperemos que esto proporcione una mejor comprensión. La clave está en darse cuenta de que el patrón de difracción puede, efectivamente, estar formado por rejillas de difracción, pero donde sus funciones de transmisión se suman en lugar de multiplicarse.
