$L$ es un operador lineal que actúa en el espacio de Hilbert $V$ de dimensión $n$ , $L: V \to V$ . La traza de un operador lineal se define como la suma de las entradas diagonales de cualquier representación matricial en la misma base de entrada y salida de $V$ . Pero si $L$ es un operador lineal que actúa sobre $V \otimes V$ y quiero tomar rastro parcial sobre el sistema primero/segundo, para mí tiene sentido cuando el operador se expresa en notación dirac por ejemplo, un operador lineal que actúa $ H \otimes H$ donde $H$ es un espacio hilbert bidimensional en notación dirac es $$L_{AB} = |01\rangle \langle 00 | +|00\rangle \langle 10 | $$ $$tr_A(L_{AB})=|1\rangle \langle 0 |$$ $$tr_B(L_{AB})=|0\rangle \langle 1 |$$ ici $\{|0\rangle , |1\rangle \}$ es una base ortonormal para $H$ . Pero cómo se encuentra la traza parcial y se define en términos de la representación matricial del operador lineal. ¿La base de entrada y de salida tienen que ser la misma para definir la traza parcial de forma similar a la definición de la traza?
Respuestas
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Para tomar la traza parcial necesitas construir la suma sobre los elementos de la matriz con la misma base de entrada y salida, como probablemente ya has utilizado para calcular las trazas parciales que has dado. En la notación de Dirac esto se suele escribir como $$ tr_A(L_{AB}) =\sum_i \langle i|_A L_{AB} |i\rangle_A=\langle0|0\rangle\langle 0|0\rangle (|1\rangle\langle0|)_B+\langle1|0\rangle\langle 1|1\rangle \left(|0\rangle\langle0|\right)_B\\ =(|1\rangle\langle0|)_B $$
Lo que está implícito en esta notación, es que dejas intacta la parte del operador que actúa sobre el espacio B. En principio lo que se hace es multiplicar la matriz cuadrada por matrices rectangulares para obtener una matriz más pequeña: $$ tr_A(L_{AB})=\sum_i [(\langle i|\otimes id)L_{AB}(|i\rangle\otimes id)] $$ Si se quiere pensar en matrices, basta con representar los productos tensoriales mediante Productos Kronecker : $$ tr_A(L_{AB})= \left(\array{1&0&0&0\\0&1&0&0}\right)\cdot \left(\array{0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0} \right)\cdot \left( \array{1&0\\0&1\\0&0\\0&0}\right)=\left(\array{0&0\\1&0} \right) $$ (Acabo de escribir el término superviviente (donde $i=0$ ).)
Dejemos que $H_A \otimes H_B$ sea su espacio de Hilbert, y $O$ sea un operador que actúe sobre este espacio compuesto. Entonces $O$ se puede escribir tiene $$ O = \sum_{i,j} c_{ij} M_i \otimes N_j$$ donde el $M_i$ y $N_j$ El acto de $H_A$ y $H_B$ respectivamente. Entonces la traza parcial sobre $H_A$ definido como $$tr_{H_A}(O) = \sum_{i,j} c_{ij} tr(M_i) N_j ,$$ y de forma similar para $H_B$ .
