Estoy tratando de entender las pruebas de las propiedades de la expectativa condicional.
Primero empiezo con la definición de expectativa condicional:
dejar $X$ sea una v.r. integrable en el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ y $\mathcal G\subset \mathcal F$ una sigma-álgebra.
Entonces un r.v. $Y=\mathbb E(X|\mathcal G)$ , $\mathcal G$ -función medible para la que se mantiene $\mathbb E(XI_A)=\mathbb E(YI_A)$ para cada $A\in \mathcal G$ se llama expectativa condicional de X dada $\mathcal G$ .
Ahora bien, si quiero demostrar lo de "sacar lo que se sabe" tengo que demostrarlo: $\mathbb E(XY|\mathcal G)=Y\mathbb E(X|\mathcal G)$ si Y es $\mathcal G$ -Medible
¿Cómo demostrarlo? ¿Tengo que demostrar que $\mathbb E(XY|\mathcal G)$ es $\mathcal G$ -medible y que $\mathbb E(XYI_A)=\mathbb E(\mathbb E(XY|\mathcal G)I_A) $ ?
No tengo ni idea, veo en todas las pruebas que encuentro que "claramente $ Y\mathbb E(X|\mathcal G)$ es $\mathcal G$ -medible", ¿por qué?
Si utilizo la definición de expectativa condicional puedo decir que $\mathbb E(X|\mathcal G)$ es $\mathcal G$ -medible, y que Y es igual por los supuestos, pero no sé qué pasa con su producto.
El segundo punto que no entiendo es que podemos demostrar la igualdad si mostramos $\mathbb E(Y\mathbb E(X|\mathcal G)I_A)=\mathbb E(XYI_A)$ . Los pasos posteriores a esto los puedo entender pero no sé por qué tengo que mostrar esto.
Para mí estas dos cantidades se pueden reescribir como $\mathbb E (\mathbb E(XY|\mathcal G)I_A)=\mathbb E(YXI_A)$
Intenté preguntarle al profe y me dijo que hay que demostrar que la propiedad es una expectativa condicional comprobando la mensurabilidad y luego la ecuación encima para cada A, pero para mí es muy confuso.
