El grupo del cubo de Rubik está generado por los seis movimientos $\{F,B,U,D,L,R\}$ . Sin embargo, ¿es este el mínimo ¿Generando un conjunto para el grupo? En otras palabras, ¿puedo simular el movimiento $F$ sólo con hacer los movimientos $B,U,D,L,R$ ? Si pruebo esto en un cubo de Rubik real, no parece muy sencillo (partiendo de un estado resuelto girar la cara frontal e intentar resolver el cubo sin volver a girarlo), pero tampoco veo ninguna razón por la que sea imposible.
Respuestas
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Onorio Catenacci
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6130
Sí, se puede conseguir uno de los generadores a partir del otro $5$ . Tengo unas viejas "Notas sobre el cubo mágico de Rubik" de David Singmaster, según las cuales $D^{-1}$ es igual a:
$$R^2L^2UF^2B^2UF^2R^2F^2B^2U^2L^2U^2L^2R^2U^2R^2U^2R^2F^2U^{-1}R^2B^2R^2L^2F^2L^2UB^2F^2U $$
He probado esto ahora, y funciona. Se atribuye a Roger Penrose.
No se puede prescindir de los generadores estándar: se necesita al menos $5$ de ellos.
Pero el grupo es un $2$ -grupo generador. Dos elementos elegidos al azar tienen una probabilidad razonablemente alta de generar todo el grupo.
sewo
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58
Si pruebo esto en un cubo de Rubik real, no parece muy sencillo (partiendo de un estado resuelto girar la cara frontal e intentar resolver el cubo sin volver a girarlo)
Depende de su procedimiento de solución. Con el que yo utilizo, resulta que en realidad sólo giro la cara inferior (a) mientras ensambla la cruz inicial (lo que es fácil de hacer de otras maneras), y (b) mientras orienta las esquinas de la capa superior al final (lo que se puede hacer sin girar ese lado orientando el cubo de otra manera en esta fase). Así que la resolución después de un $B$ cuarto de vuelta sin usar ningún $B$ s fue fácil para mí.
Manteniendo dos de los lados inamovibles no es posible, sin embargo. Si los dos lados que no vas a girar son vecinos, la pieza de borde que tienen en común no puede moverse en absoluto; si son opuestos, las 24 pegatinas de las piezas de borde se dividen en dos órbitas, por lo que ya no es posible voltear un borde.
Si no exigimos que los generadores sean de un solo giro, podemos bajar a dos. (Por supuesto, no podemos llegar a uno, porque un grupo de un generador es abeliano, y el grupo de Rubik no lo es). El comentario de Michael Lugo sobre la respuesta de Derek da un conjunto de dos generadores algo optimizado, pero también podemos hacerlo:
- Dejemos que $X$ sea una combinación que cicle $7$ de las esquinas, los ciclos $3$ de las aristas, mantiene al menos una arista sin cambiar, y voltea al menos una arista que no se mueve.
- Dejemos que $Y$ sea una combinación que intercambie $2$ esquinas, ciclos $10$ bordes, mantiene al menos una esquina sin cambios, y tuerce al menos una de las esquinas que no se mueve.
tal que exactamente una esquina y una arista son movidas por ambos $X$ y $Y$ .
- Utilizando $X$ y $Y$ podemos permutar el bordes como queramos, mientras desordenamos las esquinas.
- Ahora $X^3$ ciclos de las 7 esquinas (partición de las esquinas pares), dejando todos los bordes en su lugar, y $Y$ transpone 2 esquinas (paridad de esquinas impar), al tiempo que cicla $10$ bordes. Podemos conseguir cualquier incluso permutación de las esquinas por $X^3$ s y $Y$ s, y como habrá un número par de $Y$ s, podemos devolver el ciclo de 10 aristas a su posición inicial sin perturbar las esquinas haciendo una o más $Y^2$ s después.
Así, $X$ y $Y$ son suficientes para realizar cualquier permutación de los cubos, ignorando las orientaciones de cada cubo.
Sin embargo, ahora $X^{21}$ no mueve ningún cubo, así que $X^{63}$ mantiene todos los cubos en su sitio y no tuerce ninguna esquina. Pero $X^{63}$ voltea al menos una arista y deja al menos una arista sin voltear, por lo que combinando las conjugaciones adecuadas de $X^{63}$ podemos lograr cualquier combinación legal de volteos de bordes.
Igualmente, $Y^{10}$ no mueve ningún cubo, y $Y^{20}$ mantiene todos los cubos en su sitio sin voltear ninguna arista, pero sí tuerce una esquina y deja otra sin modificar. Así que las conjugaciones adecuadas de $Y^{20}$ combinar en cualquier combinación legal de giros de esquina.
Jesse Hallett
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354
La solución alg mencionada anteriormente es de 31 FTM y 57 QTM.
Sin embargo, utilizando el Explorador de Cubos, encontré las siguientes soluciones óptimas para D y D2:
D \=
R L F2 B2 R' L' U R L F2 B2 R' L' (13f*, 17q*)
R L F2 B2 R' L' U R' L' F2 B2 R L (13f*, 17q*)
R L' F2 B2 R L' U R L' F2 B2 R L' (13f*, 17q*)
R L' F2 B2 R L' U R' L F2 B2 R' L (13f*, 17q*)
R' L F2 B2 R' L U R L' F2 B2 R L' (13f*, 17q*)
R' L F2 B2 R' L U R' L F2 B2 R' L (13f*, 17q*)
R' L' F2 B2 R L U R L F2 B2 R' L' (13f*, 17q*)
R' L' F2 B2 R L U R' L' F2 B2 R L (13f*, 17q*)
F B R2 L2 F' B' U F B R2 L2 F' B' (13f*, 17q*)
F B R2 L2 F' B' U F' B' R2 L2 F B (13f*, 17q*)
F B' R2 L2 F B' U F B' R2 L2 F B' (13f*, 17q*)
F B' R2 L2 F B' U F' B R2 L2 F' B (13f*, 17q*)
F' B R2 L2 F' B U F B' R2 L2 F B' (13f*, 17q*)
F' B R2 L2 F' B U F' B R2 L2 F' B (13f*, 17q*)
F' B' R2 L2 F B U F B R2 L2 F' B' (13f*, 17q*)
F' B' R2 L2 F B U F' B' R2 L2 F B (13f*, 17q*)
Curiosamente, D2 requiere menos movimientos en cualquier métrica:
D2 \=
R L' F2 U2 B2 R' L U2 F2 (9f*, 14q*)
R2 U2 F' B L2 U2 R2 F B' (9f*, 14q*)
R' L B2 U2 F2 R L' U2 B2 (9f*, 14q*)
F B' L2 U2 R2 F' B U2 L2 (9f*, 14q*)
F2 U2 R L' B2 U2 F2 R' L (9f*, 14q*)
F' B R2 U2 L2 F B' U2 R2 (9f*, 14q*)
L2 U2 F B' R2 U2 L2 F' B (9f*, 14q*)
B2 U2 R' L F2 U2 B2 R L' (9f*, 14q*)
R2 F2 B2 L2 U2 R2 F2 B2 L2 (9f*)
R2 F2 B2 L2 U2 L2 F2 B2 R2 (9f*)
F2 R2 L2 B2 U2 F2 R2 L2 B2 (9f*)
F2 R2 L2 B2 U2 B2 R2 L2 F2 (9f*)
L2 F2 B2 R2 U2 R2 F2 B2 L2 (9f*)
L2 F2 B2 R2 U2 L2 F2 B2 R2 (9f*)
B2 R2 L2 F2 U2 F2 R2 L2 B2 (9f*)
B2 R2 L2 F2 U2 B2 R2 L2 F2 (9f*)
y si X en {R L', R' L}, Y en {F B', F' B}, entonces
D2 =
U2 X Y X' Y X' Y' (14q*)
U2 Y X Y' X Y' X' (14q*)
U (') X Y X' Y X' Y' U (') (14q*)
U (') Y X Y' X Y' X' U (') (14q*)
X Y X' Y X' Y' U2 (14q*)
Y X Y' X Y' X' U2 (14q*)
y además,
D2 \=
R L F B R' L' U2 F B R L F' B' (14q*)
R L F' B' R' L' U2 F B R' L' F' B' (14q*)
R L' F B R' L U2 F B' R L F' B (14q*)
R L' F' B' R' L U2 F' B R' L' F B' (14q*)
R' L F B R L' U2 F' B R L F B' (14q*)
R' L F' B' R L' U2 F B' R' L' F' B (14q*)
R' L' F B R L U2 F' B' R L F B (14q*)
R' L' F' B' R L U2 F' B' R' L' F B (14q*)
F B R L F' B' U2 R L F B R' L' (14q*)
F B R' L' F' B' U2 R L F' B' R' L' (14q*)
F B' R L F' B U2 R' L F B R L' (14q*)
F B' R' L' F' B U2 R L' F' B' R' L (14q*)
F' B R L F B' U2 R L' F B R' L (14q*)
F' B R' L' F B' U2 R' L F' B' R L' (14q*)
F' B' R L F B U2 R' L' F B R L (14q*)
F' B' R' L' F B U2 R' L' F' B' R L (14q*)
