La idea clave es que los cristales de tiempo se accionan externamente a una determinada frecuencia, pero responder en un diferentes (de hecho, más lento) frecuencia.
En primer lugar, la terminología:
¿qué tiene en común con el concepto habitual de los cristales, cuya estructura completa puede representarse replicando espacialmente la celda unitaria? ¿Es el cristal del tiempo un apéndice de este último al ampliar su simetría espacial para incluir también una simetría temporal?
Más o menos, pero es más que eso. La propiedad clave de un cristal que están generalizando no es sólo que sea periódico en el espacio, sino que es espontáneamente espacialmente periódica. En otras palabras, se puede empezar con un montón de átomos dispuestos al azar cuyas interacciones son perfectamente invariante traslacional, y "caen" en una red cristalina por sí mismos - no es necesario ensamblar manualmente el sólido añadiendo un átomo a la vez con precisión de espacio atómico.
Como analogía muy aproximada, imaginemos que se intenta "empaquetar" manualmente los átomos en una red sometiéndolos a un potencial externo espacialmente periódico. Podríamos imaginar que si los átomos son fuertemente repulsivos, entonces el potencial externo no será lo suficientemente fuerte como para empaquetarlos en adyacente sitios de la red, por lo que en su lugar ocuparán cada otros en el potencial externo. Y, por supuesto, qué conjunto de "cualquier otro sitio" -los sitios pares o Impares- se selecciona de forma aleatoria e imprevisible (o "espontánea").
Del mismo modo, se podría imaginar un cristal de tiempo que se maneja débilmente una vez por segundo, pero que está tan desordenado que se queda "semi-atrapado" en su configuración actual y no puede seguir el ritmo del impulso, por lo que sólo se mueve una vez cada dos segundos. (Los átomos de la analogía anterior corresponden a los cambios de estado del cristal del tiempo, y la repulsión entre los átomos de la analogía corresponde a que el sistema no "quiere" cambiar frecuentemente de estado). Puede que esto no suene increíblemente exótico, pero resulta que nadie ha descubierto nunca un material que haga esto, y hasta hace poco se pensaba que era imposible por motivos teóricos (concretamente el teorema de Floquet), hasta que algunas personas muy inteligentes pensaron en algunas lagunas. "Cristal del tiempo" es un nombre un poco tonto, pero es el que ha quedado.
Tienes razón en que, como los cristales de tiempo dependen intrínsecamente de un impulso externo (al menos, eso creemos), no puedes utilizar el stat mech de equilibrio y tienes que adoptar una definición ligeramente diferente de "estado de la materia", en este caso, la propiedad de la respuesta material que duplica (o triplica, etc.) espontáneamente el periodo del impulso externo. Además, como dices, es poco probable que encuentres un cristal del tiempo en la naturaleza, si por "naturaleza" quieres decir "una cueva en Utah". Pero puede que no sean tan exóticos como crees. Por ejemplo, el simple hecho de hacer brillar una onda luminosa clásica de frecuencia fija puede impulsar un sólido mediante el efecto Stark de corriente alterna, por lo que no tendrías que hacer nada del otro mundo para conseguir el impulso externo.
Editar : la gente suele utilizar la palabra "cristal" para referirse a una estructura espacialmente periódica, pero eso es no el sentido de la palabra que se utiliza en la frase "cristal del tiempo". El punto clave de un cristal que se está generalizando es que rompe espontáneamente la simetría traslacional, porque el hamiltoniano tiene una cierta simetría traslacional, pero cualquier estado básico tiene menos simetría traslacional. Para un cristal espacial regular, las interacciones de los átomos individuales tienen continuo simetría traslacional - si se mueven todos los átomos en la misma dirección por un arbitrariamente pequeña cantidad, la energía no cambia. Pero si las interacciones son tales que el estado básico forma una estructura cristalina, entonces ese cristal sólo tiene discreto simetría traslacional: el cristal tiene el mismo aspecto si se traslada una constante de red, pero no si se traslada una fracción de constante de red. El estado básico sigue teniendo cierta simetría traslacional "residual" del hamiltoniano original, pero es menos simetría que antes, porque hay menos operaciones de traslación (por números enteros de espaciamientos de red) que dejan invariante el cristal que operaciones de traslación (por cualquier cantidad) que dejan invariante el hamiltoniano original. Matemáticamente, decimos que el grupo de simetría original $\mathbb{R}$ se descompone espontáneamente en el subgrupo adecuado $\mathbb{Z}$ .
En mi analogía del "átomo repulsivo" anterior, el hamiltoniano tiene invariancia traslacional discreta con una constante de red fijada por el potencial periódico externo. Pero si los átomos se repelen y sólo llenan cada segundo (tercero, etc.) de la red, entonces el estado básico físico sigue siendo espacialmente periódico, pero con un período dos veces (tres veces, etc.) el período fijado por el potencial externo. Decimos que "la celda unitaria se ha duplicado espontáneamente", porque el estado básico sigue teniendo cierta simetría traslacional, pero menos que antes (la traslación por un número par de espaciamientos de la red original sigue siendo una simetría, pero la traslación por un número impar ya no lo es).
Del mismo modo, un cristal de tiempo duplica (o triplica, etc.) simultáneamente la "celda unitaria" de traslación del tiempo. Si el hamiltoniano es periódico en el tiempo con periodo $T$ pero la evolución temporal del cristal físico es periódica con periodo $2T$ ( $3T$ etc.), entonces "rompe espontáneamente" la simetría traslacional temporal del Hamiltoniano (por cualquier múltiplo entero de $T$ ) a un conjunto más pequeño de operaciones de simetría - las que consisten en un múltiplo entero del nuevo período $2T$ o, en su defecto, un incluso múltiplo de $T$ . Al igual que la constante de red efectiva se duplicó en nuestra analogía con el átomo, la "celda unitaria de traslación temporal" se duplica de $T$ à $2T$ en nuestro cristal del tiempo.
(Detalle técnico: el hamiltoniano de un cristal de tiempo está desordenado en el espacio, pero es perfectamente periódico en el tiempo, por lo que la invariancia traslacional del tiempo que se rompe espontáneamente es una simetría perfecta del hamiltoniano. El desorden espacial es necesario en la práctica por razones más bien técnicas, pero carece por completo de importancia conceptual).
