Processing math: 100%

3 votos

Propiedades de Markov y Markov fuerte

En mi estudio de la propiedad de Markov fuerte de un proceso de Markov canónico RCLL encuentro la siguiente definición:

Supongamos que Yt:ωω(t) es un proceso de Markov canónico con respecto a su filtración bruta F0 con un núcleo de probabilidad de transición (Kt)t , donde ω es la función RCLL de t tomando valores en el espacio polaco S, entonces Y tiene una fuerte propiedad de Markov con respecto a la filtración RC F si para todo F -tiempo de parada τ ,

E[f(Y+τ)Fτ]=EYτ[f(Y)] en {τ<} , donde Eμ se refieren a la toma de la expectativa condicionada al valor inicial μ y la misma probabilidad de transición, y f(ω) RV real positivo acotado de la trayectoria de la muestra.

Entonces existe esta afirmación de que la condición anterior es equivalente a para todo F -tiempo de parada τ ,

E[f(Y+τ)1τ<]=E[EYτ[f(Y)]1τ<],

es decir, la primera ecuación sólo tiene que mantenerse en forma integrada. He intentado demostrar esta afirmación pero no he podido avanzar. ¿Alguna sugerencia? Gracias.

2voto

user36150 Puntos 8

Dejemos que τ sea un límite F -tiempo de parada y FFτ . Definimos un nuevo tiempo de parada fijando

ϱ(ω):={τ(ω),ωF,,otherwise.

Entonces, por supuesto,

E(f(Y+ϱ)1{ϱ<})=E(EYϱ(f(Y))1{ϱ<}),

es decir

E(f(Y+τ)1F)=E(EYτ(f(Y))1F).

Dado que esto es válido para cualquier FFτ concluimos que

E(f(Y+τ)Fτ)=EYτ(f(Y)).

Observación: Un resultado muy similar es válido para las martingalas. De hecho, un proceso integrable adaptado (Mt,Ft)t0 es una martingala si y sólo si

E(Mϱ)=E(Mτ)

para todos los límites ( Ft) -tiempos de parada ϱ y τ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X