Propiedades de Markov y Markov fuerte

Question

En mi estudio de la propiedad de Markov fuerte de un proceso de Markov canónico RCLL encuentro la siguiente definición:

Supongamos que $Y_t:\omega\rightarrow \omega(t)$ es un proceso de Markov canónico con respecto a su filtración bruta $\mathbb{F}^0$ con un núcleo de probabilidad de transición $(K_t)_t$ , donde $\omega$ es la función RCLL de $t$ tomando valores en el espacio polaco S, entonces $Y$ tiene una fuerte propiedad de Markov con respecto a la filtración RC $\mathbb{F}$ si para todo $\mathbb{F}$ -tiempo de parada $\tau$ ,

$$E[f(Y_{\cdot+\tau})\mid\mathcal{F}_\tau]=E_{Y_\tau}[f(Y)]$$ en $\{\tau<\infty\}$ , donde $E_\mu$ se refieren a la toma de la expectativa condicionada al valor inicial $\mu$ y la misma probabilidad de transición, y $f(\omega)$ RV real positivo acotado de la trayectoria de la muestra.

Entonces existe esta afirmación de que la condición anterior es equivalente a para todo $\mathbb{F}$ -tiempo de parada $\tau$ ,

$$E[f(Y_{\cdot+\tau}){\bf 1}_{\tau<\infty}]=E[E_{Y_\tau}[f(Y)]{\bf 1}_{\tau<\infty}],$$

es decir, la primera ecuación sólo tiene que mantenerse en forma integrada. He intentado demostrar esta afirmación pero no he podido avanzar. ¿Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\tau$ sea un límite $\mathbb{F}$ -tiempo de parada y $F \in \mathcal{F}_{\tau}$ . Definimos un nuevo tiempo de parada fijando

$$\varrho(\omega) := \begin{cases} \tau(\omega), & \omega \in F, \\ \infty, &\text{otherwise} \end{cases}.$$

Entonces, por supuesto,

$$\mathbb{E}(f(Y_{\cdot+\varrho}) 1_{\{\varrho<\infty\}}) = \mathbb{E}(\mathbb{E}_{Y_{\varrho}}(f(Y)) 1_{\{\varrho<\infty\}}),$$

es decir

$$\mathbb{E}(f(Y_{\cdot+\tau}) 1_F) = \mathbb{E}(\mathbb{E}_{Y_{\tau}}(f(Y)) 1_F).$$

Dado que esto es válido para cualquier $F \in \mathcal{F}_{\tau}$ concluimos que

$$\mathbb{E}(f(Y_{\cdot+\tau}) \mid \mathcal{F}_{\tau}) = \mathbb{E}_{Y_{\tau}}(f(Y)).$$

Observación: Un resultado muy similar es válido para las martingalas. De hecho, un proceso integrable adaptado $(M_t,\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}$ es una martingala si y sólo si

$$\mathbb{E}(M_{\varrho}) = \mathbb{E}(M_{\tau})$$

para todos los límites ( $\mathcal{F}_t)$ -tiempos de parada $\varrho$ y $\tau$ .