¿Cuáles de los siguientes pares de conjuntos son homeomorfos de los siguientes?

Question

¿Cuál de los siguientes pares de conjuntos es homeomorfo?

a. El conjunto $\mathbb Q$ y $\mathbb Z$ con sus topologías habituales heredadas de $\mathbb R.$

b.Los conjuntos $(0,1)$ y (0, $\infty$ ) con sus topologías habituales heredadas de $\mathbb R.$

c. Los conjuntos $S^1=$ { $z\in\mathbb C: z=e^{i\theta},0\leq\theta\leq2\pi$ } y $A$ ={ $z\in\mathbb C:z=re^{i\theta},1\leq r\leq2,0\leq\theta\leq2\pi$ } con sus topologías habituales heredadas de $\mathbb C$ es decir $\mathbb R^{2}$ .

Answer 1

(a)no es homemófila porque se puede ver la propiedad abierta y cerrada en $\mathbb Q$ y $\mathbb Z$ . $\mathbb Z$ tiene una estructura topológica discreta en $\mathbb R$ Sin embargo, $\mathbb Q$ no lo es.

(b)es homemórfico porque podemos construir un mapa continuo: $\tan(\frac{\pi}{2}x)$ .

(c)no es homeomorfo, porque $\mathbb S^1$ es un colector unidimensional sin límites y $A$ es un colector bidimensional con límite.