Confusión sobre la definición de acción de grupo fiel.

Question

A continuación, algunos extractos de mi nota de lectura:

• Una acción de un grupo $G$ a un conjunto $X$ es un homomorfismo $\alpha: G \to \text{Sym}(X)$ , donde $\text{Sym}(X)$ es el grupo de biyecciones $X \to X$ .
• De forma equivalente, una acción $\alpha$ de $G$ en $X$ puede verse como un mapa $G \times X \to X$ que solemos escribir como $(g,x) \mapsto g \cdot x := \alpha_g(x) \in X$ .
• Una acción $\alpha$ se llama fiel si es inyectiva.
• La acción de traslación a la izquierda de un grupo $G$ sobre sí mismo se define como $L_g(h) = gh$ para un número fijo de $g \in G$ . Esta acción es fiel.

¿Estoy en lo cierto al suponer que la afirmación de que $L_g$ es fiel es vacuamente verdadera, ya que estamos restringiendo el dominio de la acción a un solo elemento $g$ ? ¿O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Es $L$ que es fiel, no $L_g$ .

Que cada $L_g$ es una biyección es de hecho obvia. Para demostrar $L$ es fiel, necesita demostrar que $L_g \ne L_h$ cuando $g \ne h$ .

No es difícil.