Dejar $\xi,\eta: \Omega \to \mathbb R$ sean variables aleatorias i.i.d. en un espacio medible $(\Omega , \mathcal F,\mathbb P)$ y que $f: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ sea una función medible bivariante (digamos bajo Borel $\sigma$ -álgebra). Claramente, $\omega \mapsto f(\xi(\omega),\eta(\omega))$ es también una variable aleatoria.
En muchos libros los autores tratan ecuaciones como $\inf_{x \in \mathbb R} f(x , \eta)$ como variables aleatorias sin más explicaciones sobre la mensurabilidad. Sin embargo, esto equivale a \begin{equation}g: \omega \mapsto \inf \bigg\{ f(x,\eta(\omega)) \bigg| x \in \mathbb R\bigg\}\end{equation} que es un mínimo incontable de variables aleatorias.
En general, no es válido tomar infimos incontables de variables aleatorias. Un ejemplo contrario se muestra en Mínimo incontable de funciones medibles . El ejemplo del contador funciona aquí si $x$ es un subíndice en lugar de una dimensión, es decir $g(w) = \inf_{x\in \mathbb R} f_x(\eta(\omega))$ . Sin embargo, como $f$ es una función bivariable medible, parece que su medibilidad impide que la construcción en ese contraejemplo sea válida.
Creo que $g$ es siempre medible, pero no puedo llegar a una prueba. Me pregunto si hay una prueba clara (o incluso mejor, una generalización) de esta afirmación.
