La visualización de la superficie de una esfera

Question

Me ayuda mentor algunos realmente brillantes y jóvenes los niños en matemáticas. Estábamos buscando en las propiedades geométricas de diferentes formas, y uno de los niños se observó que el área de la superficie de una esfera $S = 4\pi r^2$ contiene la ecuación para el área de un círculo de $A = \pi r^2$.

Ella estaba un poco confundido por qué el factor de $4$ fue misteriosamente allí. Le dije que me gustaría volver a ella.

Sé cómo probar la fórmula utilizando el cálculo, pero he pasado mucho tiempo tratando de encontrar un modo elemental de hacerlo.

¿Alguien sabe de una forma de probar la primera ecuación usando casi nada de matemáticas avanzadas$^1$? Esto parece poco probable, así como una pregunta aparte, ¿alguien sabe de una buena visualización para mostrar la relación entre el$S$$A$?

El enfoque ingenuo de tomar cuatro círculos y mostrar que usted puede "colocar" en una esfera es claramente errónea (usted no puede simplemente colocar cuatro círculos en una esfera), pero no estoy seguro de cuál es la alternativa.

$^1$De estos niños tienen un conocimiento de trabajo de manipulación de la variable, la geometría básica, y supongo que la combinatoria?

Answer 1

Una manera de proceder es hacer uso de la conocida (bueno, debería ser bien conocido) de propiedad de una esfera: Si usted inscribir a una unidad de la esfera dentro de un cilindro recto, y una rebanada de ellos "horizontalmente" (es decir, perpendicular al eje del cilindro) las correspondientes tiras de la esfera y del cilindro tienen áreas iguales.

Que esto es verdad, puede ser visto mediante el examen de las tiras en el límite. Cada tira de la esfera tiene un radio pequeño de la franja correspondiente del cilindro, por una cantidad igual al coseno del "latitud" de la franja, pero por la misma razón, la esfera de la tira es más amplio que el correspondiente de la tira de la botella, por una cantidad igual a la secante de la latitud. Los dos factores se cancelan uno al otro.

Desde el cilindro entero, dejando de lado los extremos (que no corresponden a ninguna porción de la esfera), tiene la altura $2$ y la circunferencia de la $2\pi$, su área-y por lo tanto el área de la esfera es $2 \times 2\pi = 4\pi$.

Answer 2

Acabo de hacer la enseñanza de la clase de nuevo y me fue muy bien, así que quería publicar mis métodos aquí. Esto no es técnicamente una respuesta, pero más de lo que yo hice, que funciona como una respuesta.

Todo el crédito para mi idea fundamental en la que se va a @dxiv y el enlace publicado en el comentario a mi pregunta.

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Me dio a cada niño la mitad de un tubular de naranja (esencialmente un hemisferio) y les dijo que lo utilizan como una plantilla para trazar un círculo. Se determinó el radio de este círculo del ser $1.6 \text{ inches}$.

He argumentado que en el área de la superficie es una medida de la cantidad de pintura que íbamos a necesitar para cubrir la parte superior de la media naranja. Entonces me dijo que si hemos descompuesto la naranja en un disco plano, la cantidad de pintura que necesita, obviamente, no iba a cambiar (si pintamos cada punto de pre-smush, no hay punto sería sin pintar post-smush), por lo que la superficie no iba a cambiar.

Se descompuesto la naranja y, de nuevo, se utiliza como una plantilla para trazar un círculo. Encontraron el radio de este círculo a $2.25 \text{ inches}$.

El área de nuestro círculo original, $\pi r^2$, es acerca de la $8 \text{ inches}^2$. El área de nuestro nuevo círculo es acerca de $16 \text{ inches}^2$. Así, el área de la superficie de la semiesfera es $2\pi r^2$, y el área de la superficie de la totalidad de la esfera es $4\pi r^2$.

Ellos quedaron muy contentos con esta demostración, pero, obviamente, no era - no era muy rigurosa. Así que para completar la lección, les mostré el siguiente diagrama (reproducido aquí en la Pintura):

Bajo el smush operación, me dijo que la distancia entre el rojo y el azul puntos no deben cambiar. Esto significaría que nuestro segundo círculo debe tener un radio que es por un factor de $\sqrt2$ a partir de nuestro primer círculo. He aquí:

$$1.6\sqrt2 \approx 2.25$$

Todos se fueron muy satisfechos, así que creo que la demostración funcionó, sans el hecho de que fue un poco la mano-ondulado.

Answer 3

Este es definitivamente no es una respuesta, pero si usted va a utilizar el de "las cuatro partes de una cáscara de naranja" analogía, esto podría ser relevante.

Esto puede ser divertido para algunos, especialmente aquellos que disfrutan de confundir a la gente con coincidencias numéricas (como Randall Munroe del XKCD comics 217 y 1047).

Yo estaba pensando en el simplex regular en 3D -- el tetraedro regular.

Si pones un tetraedro regular dentro de la unidad de la esfera, yo.e con los cuatro vértices del tetraedro en la unidad de la esfera, las seis caras del tetraedro son $\sqrt{8/3}$. Cada una de las cuatro caras es un triángulo equilátero (a cada lado, naturalmente, dice $\sqrt{8/3}$). El área de cada cara triangular es, por tanto,$\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.

El área de la unidad de la esfera es $4\pi$, por lo que el área de cada triangular cuadrante en la unidad de la esfera, como si el tetraedro se hinchó dentro de una esfera-es $\pi$.

(Los bordes de cada uno de hinchado de la cara es un arco de un gran círculo.)

La relación entre el área de la unidad de la esfera cuadrante y el tetraédrica caras es $\pi:2/\sqrt{3} \approx 2.72070$, que está dentro de una milésima de $e \approx 2.71828$.
(Con tres cifras significativas, tanto en la ronda de a $2.72$.)

Esto es una coincidencia; las ratios más bajos y mayor número de dimensiones es bastante diferente.

Answer 4

La lectura de @NominalAnimal 's informativos nonanswer sugiere que esta casi de respuesta.

Me gustaría empezar a pensar acerca de la trigonometría esférica con sus alumnos de quinto grado. Ejemplos muestran que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor que $\pi$ (radian medida, por supuesto, que usted ha presentado, si ellos no lo saben). A continuación, motivar a la del Teorema de Girard - el área de un triángulo esférico es el exceso esférico: la suma de los ángulos - $\pi$.

A continuación, cada uno de los cuatro triángulos esféricos que se obtiene mediante la voladura de la inscrito el tetraedro tiene área de $\pi$, por lo que el área de la esfera es $4\pi$.

Esta no es una prueba, porque usted puede necesitar utilizar el área de la esfera para demostrar Girard del Teorema, pero es una interesante digresión y una intuitiva argumento.

Me quedo con algunos buenos estudiantes de quinto grado y creo que esto es bien vale la pena hacer. Voy a probarlo en el otoño.

Answer 5

Creo que la idea de tratar de hacer esto sin cálculo es erróneo. En su lugar, tratar de entender los pasos en el cálculo. El área de la superficie de la fórmula se deriva de la fórmula de volumen, así que tal vez la pregunta debería ser: ¿se puede obtener la fórmula de volumen a partir de la fórmula del área del círculo $A=\pi r^2$? Considere la posibilidad de una pila de discos, con la parte inferior de uno de diámetro $2r$ y la superior de diámetro de poco más de cero. Entonces tenemos (utilizando la fórmula del volumen del cilindro $V=\pi R^2h$): $$V=2\times\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\pi (r\cos(\theta))^2\times r\cos(\theta)\tan(\theta_2)$$ El $R$ $h$ equivalentes son adyacentes y opuestos lados, respectivamente, de la implícita en ángulo recto, los triángulos, los cuales se mueven hacia arriba a través de la esfera de $(\theta_2$ es el ángulo dentro de los triángulos, que puede ser infinitesimal, que hace lo mismo a $\tan(\theta_2))^1$. Así: $$V=2\pi r^3\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\cos^3(\theta)\frac{dh}{R}$$ El resto de la integral se evalúa a $2/3$, así: $$V=\frac{4}{3}\pi r^3$$

$^1$Más intuitivamente, ya que $\tan$ es opuesto sobre adyacente, la proporción de disco a la altura de la disco de radio debe ser hecho tan bajo como sea posible con el fin de obtener el resultado de una de una esfera lisa.

EDIT: por favor nota, una de las respuestas aquí (por bobobobo) es un mucho mejor uso del disco técnica. He dejado mi respuesta anterior, porque funciona, pero el $\tan(\theta_2)$ factor es un poco desordenado - contiene implícitamente $r\cos(\theta)$ como el denominador. Puede ser interesante observar que la técnica anterior tiene una forma natural de diferencial, mientras que bobobobo la técnica sólo añade un fuera de convenio. Esto podría ser tomado para significar que la integración sin la diferencial de alguna manera es "mejor" que con ella.