Obtenga el PDF conjunto de $\theta_{1} - \theta_{2}$ y $\theta_{1}$ donde $\theta_{1}$ y $\theta_{2}$ son i.i.d. $\text{Uniform}[0, 2\pi)$

Question

Tengo 2 variables aleatorias i.i.d Uniformes $\theta_{1}$ y $\theta_{2}$ en $[0, 2\pi)$ . Aquí el problema nos empuja a considerar que todas las operaciones se hacen módulo $2\pi$ .

Mi pregunta es cómo obtener el PDF conjunto de $\theta_{1} - \theta_{2}$ y $\theta_{1}$ y luego obtener la PDF condicional de $\theta_{1}$ dado $\theta_{1} - \theta_{2}$ ??.

Para la segunda parte se puede deducir de la primera escribiéndola como la PDF conjunta dividida por la PDF de $\theta_{1}$ . Pero para la primera parte, Una idea común que vi es derivar el $\text{CDF}(x, y) = P(\theta_{1} - \theta_{2} \le x$ , $\theta_{1} \le y$ ) y luego realizar las derivaciones respecto a $x$ y $y$ . ¿Es este un enfoque correcto? En caso afirmativo, ¿cómo proceder con la FCD, especialmente con nuestras restricciones de distribución uniforme?

Answer 1

Hay que tener en cuenta el siguiente sistema

$$\begin{cases} z=\theta_1-\theta_2\\ v=\theta_1 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} \theta_1=v\\ \theta_2=v-z \end{cases}$$

El jacobiano es obviamente $|J|=1$ y por lo tanto

$$f_{ZV}(z,v)=\frac{1}{4\pi^2}\cdot\mathbb{1}_{(0;2\pi)}(v)\cdot\mathbb{1}_{(v-2\pi;v)}(z)$$

Es decir, la distribución conjunta se define sobre el siguiente paralelogramo

Conociendo la distribución conjunta, el resto del ejercicio se deduce sin dificultades

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El hecho de que los marginales uniformes estén definidos en $(0;2\pi)$ o $[0;2\pi)$ es irrelevante

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EDIT: Si quieres integrar en V es muy útil definir el apoyo conjunto de una manera diferente pero equivalente (por eso te mostré su dibujo)

$$\mathbb{1}_{(-2\pi;0)}(z)\cdot\mathbb{1}_{(0;z+2\pi)}(v)+\mathbb{1}_{(0;2\pi)}(z)\cdot\mathbb{1}_{(z;2\pi)}(v)$$