¿Cuál es la propiedad universal de la gradación asociada?

Question

Dado un espacio vectorial filtrado (o módulo sobre un anillo) $0=V_{0}\subseteq V_{1}\subseteq\cdots\subseteq V$ se puede construir el grado asociado espacio vectorial $\mathrm{gr}\left(V\right)=\oplus_{i}V_{i+1}/V_{i}$ . Hace $\mathrm{gr}\left(V\right)$ satisfacer una propiedad universal? ¿Cuál es?

Antes de que alguien se apresure a decir: "es el espacio vectorial graduado universal con un mapa filtrado de $V$ Permítanme señalar que no es tan sencillo. Un mapa de espacios vectoriales filtrados es un mapa de espacios vectoriales que respeta la filtración. Está claro que el mapa $V_{i+1}\rightarrow V_{i+1}/V_{i}$ debería ser, pero ¿cuál sería el mapa $\cup_{i}V_{i+1}\rightarrow\oplus_{i}V_{i+1}/V_{i}$ ¿ser?

Answer 1

Una propiedad universal proviene de una adjunción. Desde este punto de vista, la gradación asociada no tiene ninguna propiedad universal porque no es adyacente a la izquierda ni a la derecha.

Prueba. Si gr(-) fuera adjunto a la izquierda (derecha) adjunto, entonces respetaría cokernels (núcleos). Consideremos el morfismo de espacios vectoriales filtrados (0⊆0⊆V)→(0⊆V⊆V) (los tres trozos son las partes filtradas 0-, 1- y 2-filtrados) que es simplemente el mapa de identidad en V. Su núcleo y cokernel son triviales. Pero el mapa inducido mapa gr(0⊆0⊆V)→gr(0⊆V⊆V) es el mapa cero de V (en grado 2) a V (en grado 1), que tiene núcleo no trivial y cokernel. Así que el gradiente asociado del (co)núcleo no es el (co)núcleo de el mapa graduado asociado.

La solución de Ben es escribir este funtor de mal comportamiento como una composición de dos funtores más agradables. El primer funtor es Rees:R-filmod→R[t]-grmod (de la categoría de módulos R filtrados a la categoría de módulos R[t] graduados). Creo que este funtor es adjunto a R[t]/(t-1)⊗-.

La segunda es R[t]/(t)⊗-:R[t]-grmod→R-grmod, el functor que toma ⊕N _i a ⊕N _i /N _i-1 . R[t]/(t)⊗- es adjunto a la izquierda del functor que lleva un módulo R graduado al mismo módulo graduado, considerado como un módulo R[t] dejando que t actúe por 0.

La ventaja es que..: El gradiente asociado no es un funtor adjunto, por lo que no tiene una buena propiedad universal por sí mismo, pero es la composición de un funtor adjunto derecho y un funtor adjunto izquierdo, que sí tienen propiedades universales.

Answer 2

La gradación asociada de un módulo R filtrado M es el módulo R universal con un mapa del módulo Rees de M sobre R[t] a gr M.

Permítanme explicar qué es el módulo de Rees Rees(M): es el submódulo de M[t,t -1 ] que se genera como un módulo R[t] por t i M_i. Demos a esto la graduación obvia por grado de t. Entonces Rees(M)/tRees(M)=gr M, mientras que Rees(M)/(t-1)Rees(M)=M con la filtración inducida. Esto es lo que tiene un mapa a gr M.

Answer 3

El functor graduado asociado tiene una propiedad universal obvia si se utiliza una definición suficientemente agradable de la noción de "ser filtrado". Una buena noción de la categoría de objetos filtrados sobre una categoría $\mathcal{C}$ consiste en la categoría de funtores $\text{Fun}((\mathbb{Z},\leq), \mathcal{C})$ donde el poset $(\mathbb{Z},\leq)$ se ve como una categoría. En otras palabras, sólo se dan las piezas de filtración $V_i$ y mapas arbitrarios $V_i \rightarrow V_{i+1}$ en lugar de sólo monomorfismos.

Esta categoría tiene un producto tensorial a través de la convolución de Day, y los objetos dualizables (si $\mathcal{C}$ es decir, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo) corresponden esencialmente a los espacios vectoriales filtrados clásicos, mediante $V = \text{colim}_i V_i$

El funtor graduado asociado es entonces simplemente el adjunto izquierdo del "funtor de filtración trivial", enviando un espacio vectorial graduado $(V_i)_{i \in \mathbb{Z}}$ al espacio vectorial filtrado con $V_i \rightarrow V_{i+1}$ siendo el mapa cero.

Answer 4

Siempre me resulta útil anotar la unidad y la cuenta para entender una adjunción, así que me limitaré a ampliar la excelente respuesta de Nicolas Schmidt.

Desde el punto de vista discutido por Nicolas, consideremos los objetos filtrados y graduados en una categoría abeliana. Denotemos por $\operatorname{triv}$ la filtración trivial (generalizada), de modo que la adjunción se escribe $\operatorname{gr} \dashv \operatorname{triv}$ . La unidad de la adición $$\eta_A: A \to \operatorname{triv}\operatorname{gr} A $$ se da en el $i$ de una filtración (generalizada) $a_i: A_{i-1} \to A_i$ , $i \in \mathbb{Z}$ por el cokernel $\operatorname{coker}(a_i): A_i \to \operatorname{Coker}(a_i)=\operatorname{gr}_iA$ . El país $$\varepsilon_B : \operatorname{gr}\operatorname{triv}(B) \to B$$ se da en grado $i$ para un $\mathbb{Z}$ -objeto clasificado $B$ por la identidad $\operatorname{id}_{B_i}$ . De hecho, esto se debe a que $\operatorname{coker}(0: B_{i-1} \to B_i) = \operatorname{id}_{B_i}$ .