Mi pregunta es sobre el $\delta$ función. Tiene la siguiente propiedad: $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta (x-t) \,\mathrm{d} x = f(t) $$ ¿Qué significa la ecuación? ¿Por qué no calcular directamente $f(t)$ ?
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Andy
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La respuesta de Aegon da una idea del significado. Me gustaría decir un poco por qué se quiere tal cosa. La aplicación básica es a soluciones de ecuaciones diferenciales, y la idea es el siguiente cálculo abstracto. Supongamos que quieres ser capaz de resolver la ecuación diferencial
$$Lu=f$$
donde $L$ es algún operador diferencial, $u$ es la función desconocida, y $f$ es una función dada. Diremos que está en el espacio completo para evitar problemas de límites, aunque esto también es útil en los problemas de valor límite.
Al estudiar esto, sería bueno que tuviéramos un enfoque único y unificado, para poder resolver la ecuación de una $f$ y luego obtener una representación de la solución para cada $f$ . La forma de hacerlo se basa en su ecuación, que puede escribirse de forma abstracta como
$$\delta * f = f$$
donde $*$ denota la convolución. Esto significa que si podemos encontrar $g$ tal que
$$Lg=\delta$$
entonces podemos convulsionar con $f$ en ambos lados para obtener
$$Lg*f=f.$$
Finalmente si podemos argumentar que $Lg*f=L(g*f)$ Entonces hemos resuelto el problema, y $g*f$ es nuestra solución. Este $g$ se denomina función de Green o solución fundamental para $L$ . Como el delta de Dirac, $g$ nunca es estrictamente una función, siempre es una distribución, aunque a menudo es una función alejada de $0$ . Se puede encontrar explícitamente en una serie de ejemplos muy importantes, incluyendo las EDOs lineales con coeficientes constantes, y las tres EDP "clásicas", es decir, las ecuaciones de Laplace, del calor y de las ondas.
Una función Dirac-delta, $\delta(x)$ no es estrictamente una función. Es una distribución y la ecuación que tienes arriba es en realidad una propiedad definitoria de la función Dirac-delta - sólo tiene sentido matemático bajo una integral.
Lo que la ecuación intuye
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - t) dx = f(t)$
significa que $\delta(x)$ desaparece idénticamente en todas partes excepto en el origen, donde tiene un pico infinito.
La ecuación no se utiliza para encontrar $f(x)$ sino que te dice cómo un $\delta$ -la función afecta $f(x)$ cuando se integra contra ella.
$\delta$ -Las funciones son extremadamente útiles y aparecen en todas partes en la física y las matemáticas, por ejemplo, al resolver ciertas ecuaciones diferenciales.
