Teoría de la deformación de representaciones de un grupo algebraico

Question

Para un grupo algebraico G y una representación V, creo que es un resultado estándar (pero no tengo una referencia) que

• el obstáculo a la deformación de V como representación de G es un elemento de H 2 (G,V⊗V * )
• si la obstrucción es cero, las clases de isomorfismo de las deformaciones están parametrizadas por H 1 (G,V⊗V * )
• Los automorfismos de una deformación dada (como una deformación de V; es decir, restringiendo a la identidad modulo su ideal cuadrado-cero) están parametrizados por H 0 (G,V⊗V * )

donde el H i se refieren a la cohomología de grupo estándar (funtores derivados de invariantes). La afirmación análoga, donde el grupo algebraico G se sustituye por un álgebra de Lie g y la cohomología de grupo se sustituye por la cohomología del álgebra de Lie, es cierto, pero la única prueba que conozco es un gran cálculo. He empezado a hacer el cálculo para el caso de un grupo algebraico, y parece que funciona, pero es un lío. Seguro que hay una larga secuencia exacta por ahí, o alguna astucia de álgebra homológica, que demuestre este resultado limpiamente. ¿Alguien sabe cómo hacer esto, o tiene una referencia para estos resultados? Esto parece una aplicación de ninjitsu complejo cotangente, pero supongo que eso es cierto sobre todos los problemas de deformación.

De paso, también me gustaría demostrar que los espacios de obstrucción, isoclase y automorfismo de las deformaciones de G como grupo son H 3 (G,Ad), H 2 (G,Ad), y H 1 (G,Ad), respectivamente. Una vez más, puedo demostrar los análogos del álgebra de Lie de estos resultados mediante un cálculo no iluminado.

Antecedentes: ¿Qué es una deformación? ¿Por qué me interesa?

También puedo explicar exactamente qué entiendo por "una deformación" y por qué me preocupan. Lo último, ¿por qué me importa? La idea es estudiar el espacio de moduli de las representaciones, lo que esencialmente significa entender cómo se comportan las representaciones de un grupo en las familias . Es decir, dada una representación V de G, ¿qué posibles representaciones podrían aparecer "cerca" en una familia de representaciones parametrizadas por, digamos, una curva? La formalización apropiada de "cercano" es considerar familias sobre un anillo local. Si se piensa en una representación como una matriz para cada elemento del grupo, hay que imaginar que quiero sustituir cada entrada de la matriz (que es un número) por una serie de potencias cuyo término constante es la entrada original, de manera que las matrices sigan componiéndose correctamente. Es útil mirar "aún más localmente" considerando familias sobre completa anillos locales (piensa: ahora sólo tomo series de potencia formales, ignorando los problemas de convergencia). Esto es un límite de las familias sobre anillos de Artin (piense: series de potencia truncadas, donde pongo x n \=0 para un n suficientemente grande).

Esto es lo que quiero decir precisamente. Supongamos que A y A' son anillos de Artin, donde A' es una extensión cuadrada-cero de A (es decir, se nos da una suryección f:A'→A tal que I:=ker(f) es un ideal cuadrado-cero en A'). Una representación de G sobre A es un módulo libre V sobre A junto con una acción de G. Una deformación de V a A' es un módulo libre V' sobre A' con una acción de G de forma que cuando reduzco V' módulo I (tensor con A sobre A'), obtengo V (con la acción que tenía antes). Un automorfismo de una deformación V' de V como deformación es un automorfismo V'→V' cuya reducción módulo I es el mapa de identidad en V. La "obstrucción a la deformación" de V es algo en algún lugar que es cero si y sólo si existe una deformación.

Debo añadir que los espacios de obstrucción, isoclase y automorfismo dependerán, por supuesto, del ideal I. Deberían ser realmente grupos de cohomología con coeficientes en V⊗V * ⊗I, pero creo que es normal omitir la I en una conversación casual.

Answer 1

Una representación de G en un espacio vectorial V es un dato de descenso de V, visto como un haz vectorial sobre un punto, a BG. Es decir, las representaciones lineales de G son "lo mismo" que los haces vectoriales sobre BG. Así que la pregunta es equivalente a la pregunta análoga sobre las deformaciones de los haces vectoriales en BG. También podríamos preguntar por las deformaciones de los haces vectoriales en cualquier espacio X.

Dado un haz vectorial V sobre X, consideremos la categoría de todas las deformaciones de primer orden de V. Un objeto es un haz vectorial sobre X', donde X' es un engrosamiento infinitesimal (en el ejemplo, se puede tomar X = BG x E donde E es un anillo local de Artin y X' = BG x E' donde E' es una extensión cuadrada-cero cuyo ideal es isomorfo como módulo al campo de residuos). Un morfismo es un morfismo de haces vectoriales sobre X' que induce el morfismo de identidad en V sobre X.

Si se permite que X varíe, esta categoría varía contravariantemente con X. Los haces vectoriales satisfacen el descenso fppf, por lo que esto forma una pila fppf sobre X.

Esta pila es muy especial: localmente tiene una sección (fppf localmente existe una deformación) y dos secciones cualesquiera son localmente isomorfas. Por lo tanto, es una gerbe . Además, el grupo de isomorfismo entre dos deformaciones cualesquiera de V es canónicamente un torsor bajo el grupo End(V) (esto es divertido de comprobar).

Los gérbes anillados por un grupo abeliano H se clasifican por H^2(X,H) (esto también es divertido de comprobar); la clase es cero si y sólo si el gérbe tiene una sección. Si el gerbo tiene una sección, las clases de isomorfismo de las secciones forman un torsor bajo H^1(X,H). Los isomorfismos entre dos secciones cualesquiera forman un torsor bajo H^0(X,H). (Esto implica que el grupo de automorfismo de cualquier sección es H^0(X,H)).

En nuestro caso, H = End(V), por lo que obtenemos una clase en H^2(X,End(V)) y si esta clase es nula, nuestro gerbo tiene una sección, es decir, existe una deformación. En este caso, todas las deformaciones forman un torsor bajo H^1(X,End(V)), y el grupo de automorfismo de una deformación es H^0(X,End(V)).

Todos los grupos de cohomología anteriores son cohomología de gavilla en la topología fppf. Si se utiliza una definición diferente de cohomología de grupo, todavía hay algo que comprobar.

Answer 2

Las afirmaciones sobre el grupo y el álgebra de Lie en la pregunta son casos especiales de un hecho más general.

En concreto, si $A$ es un álgebra asociativa y $V$ un $A$ -entonces los obstáculos a las deformaciones de $V$ se encuentran en el grupo de cohomología de Hochschild $HH^2(A,{\rm End}(V))$ , libertad de deformación en $HH^1(A,{\rm End}(V))$ y los automorfismos infinitesimales en $HH^0(A,{\rm End}(V))$ . Esto es bastante fácil de comprobar utilizando el complejo de barras.

Ahora, el enunciado para las álgebras de Lie es el caso especial $A=U({\mathfrak g})$ recordando que para cualquier $U({\mathfrak g})$ -bimódulo $M$ ,
$$ HH^\ast (U({\mathfrak g}),M)=H^\ast({\mathfrak g},M_{ad}). $$

Del mismo modo, para los grupos algebraicos afines, es el caso especial $A=O(G)^\ast$ , donde $O(G)$ es la álgebra de las funciones regulares, recordando que para cualquier función (algebraica) $G$ -bimódulo $M$ , $$ HH^\ast(O(G)^\ast,M)=H^\ast(G,M_{ad}). $$

Answer 3

Esta no es una respuesta completa, pero creo que un truco esclarecedor. Las deformaciones de V sobre los números duales están siempre en biyección con Ext 1 (V,V) en cualquier categoría abeliana. El truco está en que si se tiene una deformación V', se tiene una secuencia exacta larga:

Hom(V,V) -> Hom(V',V) -> Hom(V,V) -> Ext 1 (V,V) -> Ext 1 (V',V) -> Ext 1 (V,V) -> Ext 2 (V,V)

Puedes ver que la extensión se divide si y sólo si la imagen de la identidad bajo el mapa de frontera es trivial (usando la suma de Baer, puedes extender este truco para mostrar que dos extensiones son isomorfas si y sólo si la imagen de la identidad es la misma).

Creo que la obstrucción en Ext 2 (V,V) que tenías en mente es la imagen de esa clase bajo el siguiente mapa límite, por un argumento similar.

Answer 4

Voy a ofrecer un esbozo de argumento, y tal vez alguien que sepa lo que es una pila puede hacerlo de verdad. Probablemente exista una teoría de deformación no apilada de las álgebras de Hopf conmutativas, pero no sé cómo es.

Deformar G como grupo debería ser lo mismo que deformar BG como objeto geométrico simple. Retirar un punto de BG a lo largo de una cubierta por un punto es, a grandes rasgos, tomar un espacio de bucles basado, y el espacio de bucles deformado viene con la ley de composición deformada. Del mismo modo, deformar una representación de G debería ser lo mismo que deformar una gavilla en BG.

Voy a suponer que G es suave. Entonces el complejo tangente de BG que mapea a un punto es sólo la gavilla Ad, concentrada en grado 1. Si asumimos audazmente que la teoría de la deformación de/sobre pilas funciona igual que las deformaciones de/sobre esquemas, pero quizá con algunos cambios de grado, deberíamos obtener las respuestas que quieres. Para deformar G en particular, hay una clase canónica en H^2(BG, Ad[-1]) que clasifica las obstrucciones, y si ésta desaparece, H^1(BG, Ad[-1]) clasifica las deformaciones y H^0(BG, Ad[-1]) clasifica los automorfismos de una deformación. Cuando se deforma el haz V, se suele ver el haz End(V) escrito como coeficientes.

Olsson escribió un artículo sobre las deformaciones de los morfismos representables de las pilas, y aunque el morfismo BG -> S no es representable, uno podría beneficiarse de pedir al autor detalles adicionales si uno estuviera, digamos, trabajando en el mismo edificio que él.

Answer 5

Sobre lo que dijo Anton al final sobre las deformaciones de un grupo. Dejemos que $m_0$ sea la multiplicación estándar. Entonces quiero considerar una deformación de la forma $m:(G \times \epsilon \mathfrak{g}) \times (G \times \epsilon \mathfrak{g}) \to G \times \epsilon \mathfrak{g}$ donde $m(g_1, g_2) = m_{0}(g_1,g_2) + \epsilon m_1 (g_1,g_2)$ . Cuando se escribe la condición de asociatividad $m\circ (m \times 1) = m \circ (1 \times m)$ parece que encuentra que $(g_1,g_2) \mapsto (m_{1}(g_{1},g_{2}))(g_{1}g_{2})^{-1}$ es un cohomólogo de grupo para G que actúa sobre $\mathfrak{g}$ por la representación adjunta. Ahora hay que identificar $H^{2}(G,Ad)$ con $H^{2}(BG,Ad)$ (cuidando la topología de alguna manera).