El sistema de raíces de $sl(3,\mathbb C)$

Question

Quiero determinar el sistema de raíces del álgebra de la mentira $sl(3,\mathbb C)$ . ¿Alguien conoce una buena (y completa) referencia para este problema?

Sé que el sistema de raíces es $A_2$ pero quiero ver una prueba completa (cálculo) para esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

El sistema de raíces de $A_2$ consiste en $\Phi=\{ \pm \alpha,\pm \beta , \pm (\alpha+\beta) \}$ que se puede construir de la siguiente manera. Con la subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}\cong \mathbb{R}^2$ y el producto escalar canónico sobre $\mathbb{R}^2$ podemos realizar las raíces simples como $$\alpha=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}, \quad \beta=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Entonces, obviamente, tenemos $(\alpha,\alpha)=(\beta,\beta)=1$ y además $$\begin{align*} \langle \alpha, \alpha^{\vee}\rangle & = \frac{2(\alpha,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}= 2 ,\\ \langle \alpha, \beta^{\vee}\rangle & = \frac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}= -1,\\ \langle \beta, \beta^{\vee}\rangle & =2, \end{align*}$$ y obtenemos los números de Cartan para el tipo $A_2$ . Esto demuestra que el sistema de raíces de $A_2$ consiste en $\Phi=\{ \pm \alpha,\pm \beta , \pm (\alpha+\beta) \}$ . Para más información, consulte también la pregunta de MSE aquí para el caso de $B_2$ . Por supuesto, la misma discusión es válida para el tipo $A_2$ .