Encontrar todos los enteros $m$ tal que $\frac{1}{m}=\frac{1}{\lfloor 2x \rfloor}+\frac{1}{\lfloor 5x \rfloor} $

Question

¿Cómo determinarías todos los enteros $m$ de tal manera que lo siguiente es cierto?

$$\frac{1}{m}=\frac{1}{\lfloor 2x \rfloor}+\frac{1}{\lfloor 5x \rfloor} .$$

Tenga en cuenta que $\lfloor \cdot \rfloor$ significa la función de mayor número entero. También, $x$ debe ser un número real positivo.

Answer 1

Se puede resolver por casos. Deja que $x=n+r$ , donde $n$ es un número entero y $r=\lfloor x\rfloor$ . Entonces $\lfloor 2x\rfloor = \lfloor 2n+2r\rfloor = 2n+\lfloor 2r\rfloor$ y $\lfloor 5x\rfloor = \lfloor 5n+5r\rfloor = 5n+\lfloor 5r\rfloor$ y la ecuación original se puede escribir como $$\frac1m = \frac1{2n+\lfloor 2r\rfloor}+\frac1{5n+\lfloor 5r\rfloor}.$$

Usted sabe que $0\le r<1$ y se pueden obtener valores exactos para $\lfloor 2r\rfloor$ y $\lfloor 5r\rfloor$ para $r$ en diferentes subintervalos de $[0,1)$ .

• Si $0\le r<\frac15$ , $\lfloor 2r\rfloor=\lfloor 5r\rfloor=0$ .
• Si $\frac15\le r <\frac25$ , $\lfloor 5r\rfloor = 1$ y $\lfloor 2r\rfloor = 0$ .
• Si $\frac25\le r<\frac12$ , $\lfloor 5r\rfloor = 2$ y $\lfloor 2r\rfloor = 0$ .
• Si $\frac12\le r<\frac35$ , $\lfloor 5r\rfloor = 2$ y $\lfloor 2r\rfloor = 1$ .

Y hay dos intervalos más, que les dejo a ustedes.

Si $0\le r<\frac15$ la ecuación se convierte simplemente en $$\frac1m=\frac1{2n}+\frac1{5n}=\frac{7n}{10n^2}=\frac7{10n};$$ para que $m$ sea un número entero, $n$ debe ser un múltiplo de $7$ , digamos que $n=7k$ obtenemos $m=10k$ . En otras palabras, este caso nos da cada múltiplo positivo de $10$ como solución.

Si $\frac15\le r <\frac25$ la ecuación se convierte en $$\frac1m=\frac1{2n}+\frac1{5n+1}=\frac{7n+1}{10n^2+2n},$$ o $$m=\frac{10n^2+2n}{7n+1}.$$ Divida esto para obtener $$m = \frac{10}7n+\frac4{49}-\frac4{49(7n+1)} = \frac{70n+4}{49}-\frac4{49(7n+1)},$$ y multiplicar por $49$ para conseguir $$49m=70n+4-\frac4{7n+1}$$ o, con un pequeño reordenamiento, $$49m-70n-4=\frac4{7n+1}.$$ Pero esto es imposible si $n$ y $m$ son enteros, porque el lado izquierdo es un entero, y el lado derecho no lo es. Por lo tanto, no hay soluciones en este caso.

Si $\frac25\le r<\frac12$ la ecuación se convierte en $$\frac1m=\frac1{2n}+\frac1{5n+2}=\frac{7n+2}{10n^2+4n},$$ así que $$m=\frac{10n^2+4n}{7n+2}=\frac{10n}7+\frac8{49}-\frac{16}{49(7n+2)},$$ y $$49m=70n+8-\frac{16}{7n+2}.$$ Esta vez hay un valor de $n$ que hace que el lado derecho sea un número entero, es decir, $n=2$ . Sustituyendo $n=2$ en la última ecuación, obtenemos $49m=140+8-1=147$ et $m=3$ Esta es la única solución en este caso. (Obsérvese que si el lado derecho no fuera un múltiplo de $49$ cuando $n=2$ En este caso, no habría habido soluciones).

Puede continuar de este modo con los tres casos restantes. Puede haber un enfoque más fácil, pero este es al menos sistemático y viable.

Answer 2

He aquí una idea, los cálculos parecen demasiado largos para intentarlo.

Enfoque ingenuo: olvidar la parte de los enteros. Necesitamos entonces $m=\frac{10x}{7}$ o $x = \frac{7m}{10}$ .

Ahora enfoque no ingenuo: Intenta $x = \frac{7m+k}{10}$ donde $k$ es lo suficientemente pequeño. $0 \leq k \leq 9$ o $6$ debería funcionar dependiendo de lo que $7m$ es el módulo 10. Un análisis caso por caso podría funcionar, pero los cálculos son demasiado largos para intentarlo.

Me parece que esta idea debería funcionar, pero podría conducir simplemente a una pérdida de tiempo.

BTW: es probablemente fácil argumentar que $x = \frac{7y+k}{10} + \epsilon$ para algunos números enteros $y,k$ con $k$ "pequeño" y $0< \epsilon <\frac{1}{10}$ y entonces se puede argumentar que podemos ignorar que $\epsilon$ parte.

Answer 3

Supondremos que $x,m > 0$ . Nuestros resultados muestran (a menos que haya algún error en el análisis del caso) que las únicas soluciones (hasta un valor de $x$ ) vienen dadas por $$ \frac{1}{10C} = \frac{1}{14C} + \frac{1}{35C} $$ y la solución excepcional $$ \frac{1}{3} = \frac{1}{\lfloor 2\cdot 2.4\rfloor} + \frac{1}{\lfloor 5\cdot 2.4\rfloor} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}. $$

Como menciona el usuario9176, intuitivamente es obvio que podemos asumir que $x$ es de la forma $A + B/10$ , donde $B \in \{0,\cdots,9\}$ . Entonces tenemos $$\lfloor 2x \rfloor = 2A + \alpha, \; \lfloor 5x \rfloor = 5A + \beta, $$ donde $\alpha,\beta$ dependen de $B$ y asumir los seis valores $$(0,0);(0,1);(0,2);(1,2);(1,3);(1,4). $$ Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación como $$ (2A + \alpha) (5A + \beta) = m(7A + \alpha + \beta), $$ a partir de la cual podemos formar una cuadrática $$ 10A^2 - (7m - 5\alpha - 2\beta)A - ((\alpha+\beta)m - \alpha\beta). $$ El discriminante de la cuadrática es $$ (7m - 5\alpha - 2\beta)^2 + 40 ((\alpha+\beta)m - \alpha\beta). $$ Para que la ecuación tenga soluciones enteras, necesitamos que el discriminante sea un cuadrado perfecto. Veamos qué implica esto para cada uno de los seis pares $(\alpha,\beta)$ .

El primer caso, $(0,0)$ no requiere en realidad la teoría. La ecuación simplemente dice $10A^2 = 7mA$ o $10A = 7m$ lo que implica que $7|A$ . Por otro lado, si $A = 7C$ entonces podemos recuperar $m = 10C$ . Obtenemos la solución paramétrica $$ m = 10C, x \in [7C,7C+0.2). $$

A continuación, considere $(0,1)$ . El discriminante es $$ (7m-2)^2 + 40m. $$ Las casillas siguientes $(7m-2)^2$ son $$(7m-2)^2 + \{14m - 3, 28m - 4, 42m - 3, 56m\}.$$ Comparando los coeficientes, vemos que el discriminante no puede ser un cuadrado perfecto.

A continuación, considere $(0,2)$ . El discriminante es $$ (7m-4)^2 + 80m. $$ Las casillas siguientes $(7m-4)^2$ son $$(7m-4)^2 + \{14m-7, 28m-12, 42m-15, 56m-16, 70m-15, 84m-12, 98m-7\}.$$ Comparando los coeficientes, la única solución es $m = 3$ . La cuadrática ahora se lee $$ 10A^2 - 17A - 6 = 0 = (10A + 3)(A - 2). $$ La única solución integral es $A = 2$ y obtenemos la solución $$ m = 3, x \in [2.4,2.5).$$

A continuación, considere $(1,2)$ . El discriminante es $$ (7m-9)^2 + 120m - 80. $$ Las casillas siguientes $(7m-9)^2$ son $$\begin{align*} (7m-9)^2 + \{&14m-17,28m-32,42m-45,56m-56,70m-65,\\&84m-72,98m-77,112m-80,126m-81,140m-80,154m-77\}. \end{align*}$$ Esta vez no hay soluciones integrales.

A continuación, considere $(1,3)$ . El discriminante es $$ (7m-11)^2 + 160m - 120. $$ Las casillas siguientes $(7m-11)^2$ son $$\begin{align*} (7m-11)^2 + \{&14m-21, 28m-40, 42m-57, 56m-72, 70m-85, \\ &84m-96, 98m-105, 112m-112, 126m-117, 140m-120, \\ &154m-121, 168m-120, 182m-117\}. \end{align*}$$ De nuevo, no hay soluciones integrales.

Por último, considere $(1,4)$ . El discriminante es $$ (7m-13)^2 + 200m - 160. $$ Las casillas siguientes $(7m-13)^2$ son $$\begin{align*} (7m-13)^2 + \{& 14m-25, 28m-48, 42m-69, 56m-88, 70m-105, \\& 84m-120, 98m-133, 112m-144, 126m-153, 140m-160, \\& 154m-165, 168m-168, 182m-169, 196m-168, 210m-165, \\& 224m-160, 238m-153\}. \end{align*}$$ Una vez más, no hay soluciones integrales.

Answer 4

Si $k + j/10 \le x < k + (j+1)/10$ donde $k$ y $j$ son enteros no negativos y $j \le 9$ , $\lfloor 2x \rfloor = \begin{cases} 2k & 0 \le j \le 4 \\ 2k+1 & 5 \le j \le 9 \end{cases}$ mientras que $\lfloor 5x \rfloor = \begin{cases} 5k + j/2 & j \ \text{even} \\ 5k + (j-1)/2 & j \ \text{odd} \end{cases}$ .

Repasando los distintos casos $j = 0$ à $9$ Encuentro dos casos en los que $f(x) = \frac{1}{1/\lfloor 2x \rfloor + 1/\lfloor 5x \rfloor} $ es un número entero:

1) si $j = 0$ o $1$ y $k > 0$ es divisible por 7, $f(x) = 10 (k/7)$ .

2) si $k=2$ y $j=4$ , $f(x) = 3$ .

El caso (2) se produce de la siguiente manera: si $j = 4$ , $f(x) = \frac{1}{1/(2k) + 1/(5k+2)} = \frac{(2k)(5k+2)}{7k+2}$ . Tenga en cuenta que $\gcd(k,7k+2) = \gcd(k,2) = 1$ o $2 $ mientras que $\gcd(5k+2,7k+2) = \gcd(5k+2,2k) = \gcd(k+2,2k) =1$ , $2$ o $4$ . El mayor valor posible del denominador que puede dividir al numerador es, por lo tanto $2 \times 2 \times 4 = 16$ que se produce para $k=2$ .

Answer 5

Considere la ecuación recíproca $$ m = \dfrac{\lfloor 2x \rfloor \cdot \lfloor 5x \rfloor} {\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 5x \rfloor}$$

Dejar $x=n+\delta$ donde $0 \le \delta < 1$ obtenemos

$$ m = \dfrac{(2n + \lfloor 2\delta \rfloor)(5n + \lfloor 5\delta \rfloor)} {7n + \lfloor 2\delta \rfloor + \lfloor 5\delta \rfloor}$$

Enumeramos los posibles valores de m con respecto a $\delta$ .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \delta \in & \lfloor 2\delta \rfloor & \lfloor 5\delta \rfloor & \lfloor 2\delta \rfloor + \lfloor 5\delta \rfloor & \lfloor 2\delta \rfloor \cdot \lfloor 5\delta \rfloor & m \\ \hline [ 0, 0.2) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{10n}{7}\\ [0.2, 0.4) & 0 & 1 & 1 & 0 & \dfrac{10n^2+2n}{7n+1}\\ [0.4, 0.5) & 0 & 2 & 2 & 0 & \dfrac{10n^2+4n}{7n+2}\\ [0.5, 0.6) & 1 & 2 & 3 & 2 & \dfrac{10n^2+9n+2}{7n+3}\\ [0.6, 0.8) & 1 & 3 & 4 & 3 & \dfrac{10n^2+11n+3}{7n+4}\\ [0.8, 1.0) & 1 & 4 & 5 & 4 & \dfrac{10n^2+13n+4}{7n+5}\\ \hline \end{array}

Ahora sólo es cuestión de encontrar cuándo esos polinomios racionales tienen soluciones enteras.