series lineales vs. sistema lineal en curvas algebraicas

Question

¿Podría alguien decirme si hay alguna diferencia entre los conceptos "series lineales" y "sistemas lineales" en las curvas algebraicas?

Además, para curvas planas suaves de grado $n$ ¿Cuál es la principal diferencia entre el sistema lineal de "curvas de grado $d$ " en el caso $d\leq n-3$ y el caso $d>n-3$ ?

Answer 1

Primera pregunta:

Los términos sistema lineal y serie lineal son completamente intercambiables, es sólo cuestión de gustos. Aquí está la definición de un sistema lineal de divisores:

Def: Un divisor $D$ es linealmente equivalente à $D'$ si existe una función racional definida globalmente $f:C\to k$ tal que $D+(f) = D'$ .

Def: Dado un divisor $D$ en una curva $C$ El sistema lineal completo (o serie lineal completa) $|D|$ asociado a $D$ es el conjunto de todos los divisores en $C$ que son linealmente equivalentes a $D$ .

Def: A sistema lineal (o serie lineal) es un subespacio lineal de un sistema lineal completo.

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Segunda pregunta:

Recordemos que el teorema de Riemann-Roch para curvas suaves establece que $$ h^0(D) - h^0(K-D) = \deg(D) - g + 1, $$ donde:

• $g$ es el género de la curva $C$ que, por la grado de género para curvas planas suaves, viene dada por $$ g = \frac{(n-2)(n-1)}{2} $$

• $h^0(D)$ denota la dimensión de la serie lineal $|D|$ como un espacio vectorial sobre el campo de tierra $k$

• $K$ es cualquier divisor canónico de $C$ y $h^0(K-D)$ denota la dimensión de la serie lineal $|K-D|$ como un espacio vectorial sobre el campo de tierra $k$

Además, recuerda que tan pronto como $\deg(E)<0$ tenemos $h^0(E) = 0$ es decir, la serie lineal $|E|$ consiste en $E$ sólo.

Ahora, como el grado de un divisor canónico $K$ viene dada por (para ver esto basta con enchufar $D=0$ en la fórmula de Riemann-Roch anterior) $$ \deg(K) = 2g-2 = n\cdot(n-3), $$ deducimos que, si $D$ es el divisor de grado $n\cdot d$ que consiste en los puntos de intersección entre $C$ y otra curva plana de grado $d$ tenemos $$ d > n-3 \implies \deg(D)>\deg(K) \implies h^0(K-D) = 0. $$ Por lo tanto, en el caso $d > n-3$ la dimensión de la serie lineal $|D|$ puede calcularse fácilmente mediante la fórmula de Riemann-Roch: en este caso tenemos efectivamente $$ h^0(D) = n\cdot d - g + 1 = \frac{n\cdot d - (n-2)(n-1) + 2}{2} = \frac{n\cdot (2d -n+ 3)}{2}. $$ Por otro lado, si $d \leq n-3$ la dimensión de $|D|$ es más difícil de calcular, debido al complicado término $h^0(K-D)$ que aparece en la fórmula de Riemann-Roch.