Es el plano menos un segmento de línea homeomórficos con perforado avión?

Question

Es $\mathbb R^2$ menos un segmento de línea es decir $\mathbb R^2 \setminus ([0,1]\times \{0\}) $ homeomórficos con un pinchazo en un avión $\mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}$ ?

Answer 1

El mapa de $(x,y)\mapsto (u,v)$, se describe a continuación, es continua en a $\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$. De hecho, cada una de las tres piezas es continua, y ellos están de acuerdo en los traslapos.
$$v=y,\qquad u=\begin{cases} x,\quad &x\le 0,\\ x/|y|,\quad & 0\le x\le |y|, \\ x-|y|+1,\quad &x>|y| \end{cases} $$ Además, la imagen de cualquier punto en $\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$ está contenido en $\mathbb{R}^2\setminus([0,1]\times \{0\})$.

La inversa de la mencionada mapa $$y=v,\qquad x=\begin{cases} u,\quad &x\le 0,\\ u|v|,\quad & 0\le u\le 1, \\ u+|v|-1,\quad &u>1 \end{cases} $$ Es continua en todos los de $\mathbb{R}^2$; de nuevo, debido a que las piezas de acuerdo en los traslapos. La imagen de cualquier punto en $\mathbb{R}^2\setminus([0,1]\times \{0\})$ está contenido en $\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$.

La combinación de declaró propiedades implica el mapa es un deseada homeomorphism.

Answer 2

Deje $A=\mathbb R^2\setminus([0,1]\times\{0\})$ $B=\mathbb R^2\setminus\{0,0\}.$ Lugar a un sistema de coordenadas en $A$ por el etiquetado de cada punto de $(\ell,\theta)$ donde $\ell$ es la distancia euclídea del punto a la línea de segmento de $L=[0,1]\times\{0\}$, e $\theta\in[0,2\pi)$ es el ángulo de la punta de algunos fijos ray en $\mathbb R^2$. Poner el estándar de coordenadas polares en $B$. Definir $f:A\to B$$f(\ell,\theta)=(\ell,\theta)$.

Un simple convexidad argumento es suficiente para mostrar bijectivity. La continuidad en ambas direcciones es más difícil demostrar rigurosamente, pero no es difícil de ver.

Answer 3

Para mayor comodidad, voy a trabajar con $\Bbb R^2\setminus([-1,1]\times\{0\})$, que es, obviamente, homeomórficos a su espacio por una transformación afín. La elipse con focos en $\pm1$ y la suma de distancias a los focos igual a $2(r+1)$ tiene el eje mayor $a=r+1$ y el eje menor $b=\sqrt{r(r+2)}$, que los rendimientos de la parametrización

$$x=(r+1)\cos\theta\\y=\sqrt{r(r+2)}\sin\theta$$

que es un homeomorphism de la $(r,\theta)$ polar parametrización de $\Bbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ a la cartesiana de la parametrización de $\Bbb R^2\setminus([-1,1]\times\{0\})$. (Me parece que esta parametrización preferibles a los de @Sopa y @AlexS. porque no es por tramos.)

                                        

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En la foto, parece que no es probable que sea un subyacente mapa de conformación, si $r$-parametrización se fija a satisfacer de Cauchy-Riemann. Establecimiento $r=f(\alpha)$ e igualando el $\partial_\alpha$ $\partial_\theta$ derivadas parciales da $f(\alpha)=2\sinh^2(\alpha/2)=\cosh\alpha-1$ como una conformación $(\alpha,\theta)$ parametrización, y conectando de nuevo en da la parametrización

$$(x,y)=(\cos\theta\cosh\alpha,\sin\theta\sinh\alpha)$$

que se ve fácilmente a ser el mapa de conformación correspondiente a $f(z)=\cos z$. En otras palabras, $\cos z$ es un homeomorphism del cociente de la mitad superior del plano- $\{z\in\Bbb C\mid\Im z>0\}$ en virtud de la equivalencia $z\sim w$ fib $z-w\in 2\pi\Bbb Z$,$\Bbb C\setminus[-1,1]$; al mismo tiempo $f(x+iy)=ye^{ix}$ es un homeomorphism desde este espacio a $\Bbb C\setminus\{0\}$. Tenga en cuenta que el segundo mapa no es holomorphic, y, de hecho, no hay tal holomorphic mapa. No son conformemente equivalentes porque $\Bbb C\setminus\{0\}$ es el perforado plano y $\Bbb C\setminus[-1,1]$ es conformemente equivalente a la disco perforado $\{z\mid0<|z|<1\}$ a través de ese $\cos z$ asignación y $e^{-iz}$, y el perforado plano y se punza disco no son conformemente equivalentes por el mapeo de Riemann teorema de doblemente conectado dominios.

Answer 4

Sin escribir fórmulas esto puede observarse teniendo en cuenta que la cobertura universal en ambos casos es el disco, mientras que el grupo fundamental en ambos casos es $\mathbb{Z}$. Por lo tanto, en la clase de orientables colectores, el cociente colector debe ser el cilindro; es decir, tanto de sus espacios se homeomórficos para un cilindro infinito.

Answer 5

Este mapa debe de hacer: $$(x,y)\mapsto\begin{cases}(x+\operatorname{sgn}(x)(|y|-1),y),&|x|>1\\(xy,y),&|x|\le1\end{cases}$$