Descripción de la gavilla $G$ -paquetes

Question

Ahora bien, entre los geómetras algebraicos, al menos, es bien sabido que existe una equivalencia entre las $\mathcal{O}_X$ -de rango $n$ y haces vectoriales de rango $n$ . Así, de forma equivalente, el principal $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ -están dados por gavillas localmente libres de rango $n$ .

Entonces... ¿qué pasa con otros grupos? Supongo que $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ son entonces gavillas localmente libres de rango $n$ con la potencia exterior superior trivial, pero ¿podemos expresar todo en términos de las propiedades de una gavilla y un grupo?

Mi opinión es que en este contexto, si podemos hacerlo, terminaremos con algo que no es del todo gavillas localmente libres de rango n para $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ pero que serán equivalentes.

Note : Soy consciente de que podríamos decir algo como "la gavilla de secciones locales de un $G$ -pero estoy buscando algo intrínseco, un conjunto de propiedades del haz sin referencia al haz geométrico, que pueda reconstruirse a partir de la descripción del haz.

Answer 1

Si G es un grupo algebraico afín, un haz de G es lo mismo que un functor monoidal de G-reps a gavillas coherentes. El mapa en un sentido es tomar el haz asociado, el otro implica reconstruir la gavilla de estructura del haz G a partir de las asociadas. A grandes rasgos, se piensa en las funciones sobre el grupo como un objeto-anillo en la categoría de representaciones, y se toma el correspondiente objeto-anillo en gavillas cuasi-coherentes. El Spec de esta gavilla de anillos es el G-bundle.

En el caso de GL(n), tienes suerte, ya que su categoría tiene una descripción sencilla: es (básicamente) la categoría monoidal libre con un único generador de dimensión n. Otros grupos son un poco más complicados, pero no mucho peores.

Answer 2

$\newcommand{\O}{\mathcal{O}}$ $\newcommand{\F}{\mathcal{F}}$

La forma en que se obtiene una gavilla de rango localmente libre $n$ de un $GL(n)$ -torsor $P$ es mediante la torsión del rango trivial $n$ paquete $\O^n$ (que tiene un $GL(n)$ -) por el torsor. Explícitamente, la gavilla localmente libre es $\F=\O^n\times^{GL(n)}P$ cuyos puntos (teóricos del esquema) son $(v,p)$ , donde $v$ es un punto del haz trivial y $p$ es un punto de $P$ con sujeción a la relación $(v\cdot g,p)\sim (v,g\cdot p)$ . A la inversa, dada una gavilla localmente libre $\F$ de rango $n$ la gavilla $Isom(\O^n,\F)$ es un $GL(n)$ -torsor, y este procedimiento es inverso al $P\mapsto \O^n\times^{GL(n)}P$ procedimiento anterior. (Nota: Estoy identificando los espacios sobre la base $X$ con sus gavillas de secciones, tanto para lo que se refiere a $Isom(\O^n,\F)$ como torsor y por lo que respecta a $\O^n\times^{GL_n}P$ como una gavilla localmente libre).

Del mismo modo, si tiene un grupo $G$ y una representación $V$ , entonces se puede asociar a cualquier $G$ -torsor $P$ una gavilla localmente libre de rango $\dim(V)$ , a saber $V\times^G P$ . Pero no conozco una caracterización de qué gavillas localmente libres de rango $\dim(V)$ surgen de esta manera.

Las operaciones con la gavilla localmente libre (como la toma de la potencia exterior superior, o cualquier otra operación que se defina básicamente en sentido de la fibra y se demuestre que pega) corresponden a hacer esa operación con la representación $V$ Así que creo que tienes razón en que en el caso de $SL(n)$ se obtienen exactamente aquellas láminas localmente libres cuya potencia exterior superior es trivial (ya que $SL(n)$ no tiene un número no trivial de $1$ -representaciones dimensionales).

Answer 3

Añadirlo para que se encuentre fácilmente. Lo que buscaba, que en general no está escrito salvo en el caso de los haces vectoriales, es que la gavilla de secciones de un haz F con fibra F es una gavilla de conjuntos que es localmente isomorfa en la topología etale a la gavilla hom(-,F) que recorre subconjuntos abiertos suficientemente pequeños de X.