¿Puede expresarse la suma de todos los elementos de un conjunto continuo y finito de números reales como una suma infinita de números distintos?

Question

Soy estudiante de matemáticas de secundaria y hace poco me topé con un resultado interesante, pero contraintuitivo, mientras resolvía un problema. Estaba intentando demostrar que la suma $S$ de todos $x$ tal que $x\in(0,1)$ no era finito. Al hacerlo, encontré esto:

Utilizando divide y vencerás enfoque, $$\begin{aligned} S &= \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \right) + \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{5}{8} + \frac{7}{8} \right) + ...\infty \\ &= \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{2^{i-1}} \frac{2j-1}{2^i} \\ &= \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(2^{i-1})^2}{2^i} \\ &= \sum_{i=1}^{\infty} 2^{i-2} \\ &= \frac{1}{2} + 1 +2 + 4 + 8 +...\infty \end{aligned} $$ ¿Es esto válido o hay algún fallo que se me escapa?

Answer 1

No creo que su resumen sea correcto. Tu suma consiste sólo en números racionales no recurrentes, por lo que claramente se están perdiendo muchos términos, es decir, todos los números irracionales y racionales con expansión decimal recurrente.