A menudo me he preguntado qué se puede decir de la colección de "tasas de crecimiento". Por tasa de crecimiento, digamos que nos referimos a una clase de equivalencia de funciones (0,infty) \to (0, \infty ), donde dos funciones f_1,f_2 son equivalentes si f_1/f_2 y f_2/f_1 están acotadas lejos de 0 e infinito. Se pueden sumar, y multiplicar, y forman un poset bajo la pordería donde f_1 <= f_2 si f_1/f_2 está acotada por encima.
Entonces, en términos generales, ¿la secuencia xlog(1+x), xlog(log(10+x)), xlog(log(log(100+x))), ... converge a x de alguna manera natural? Con un poco de reflexión se puede construir una tasa de crecimiento que sea estrictamente mayor que x y estrictamente menor que todas las tasas de crecimiento de esa secuencia, así que probablemente no. ¿Aún así existe algún tipo de "topología" natural? ¿Se puede encontrar un conjunto dirigido de tasas de crecimiento que estén ordenadas linealmente y que sean menores que cualquier cosa mayor que x?
Probablemente haya una forma mejor de ver esto (por eso pregunto). =)
