Hay un trabajo fascinante en el tema de cardinal características del continuo en la teoría de conjuntos que se relaciona directamente con el concepto de tasas de crecimiento de funciones. Creo que son las ideas de este tema las que en última instancia son fundamentales para tu pregunta. Explico un poco sobre el tema general de las características características cardinales en mi respuesta aquí .
Gran parte del interés de su pregunta ya está presente para las funciones sobre los números naturales. Los dos principales órdenes sobre tales funciones que se consideran en las características cardinales son
- casi-menos-que , donde $f \lt^\ast g$ significa que $f(n) \lt g(n)$ para todos $n$ excepto con una frecuencia finita, y
- dominación , donde $f \lt g$ significa que $f(n) \lt g(n)$ para todos los $n$ .
Una familia $F$ de funciones se dice que es sin límites si hay no hay ninguna función $g$ que tiene $f\lt^\ast g$ para todos $f\in F$ . Es decir, una familia no acotada es una familia que no está acotada con respecto a $\lt^\ast$ . Una familia $F$ es dominante si cada función $f$ está dominado por algunos función $g\in F$ . Las correspondientes características cardinales de estos dos tipos de familias son:
- El delimitando número $\frak{b}$ es el tamaño del menor familia no limitada.
- El dominante número $\frak{d}$ es el tamaño de la familia dominante más pequeña.
Es fácil ver que $\frak{b}\leq\frak{d}$ simplemente porque cualquier familia dominante es también ilimitada. Además, tanto $\frak{b}$ y $\frak{d}$ son como máximo el continuo $\frak{c}$ , el tamaño de los reales. No es difícil ver que ambos de estos números deben ser incontables, ya que para cualquier familia contable de funciones $f_0,f_1, f_2,\ldots$ podemos construir la función $g(k) = \sup_{n\leq k}f_n(k)+1$ que eventualmente excede cualquier $f_n$ . En otras palabras, cualquier familia contable de está acotada con respecto a casi-menos-que o con respecto a la dominación. Por lo tanto, $\omega_1\leq\frak{b},\frak{d}\leq\frak{c}$ .
De estas simples observaciones se deduce que si el Hipótesis del Continuo se cumple, entonces tanto el número delimitador y el número dominante son iguales a $\omega_1$ que bajo CH es igual que el continuo $\frak{c}$ .
Ahora, lo sorprendente es que la independencia de ZFC abunda con estos conceptos. Primero, es relativamente consistente con ZFC que la Hipótesis del Continuo falla, y tanto el número dominante y el número límite son tan grandes como que podrían ser, el propio continuo, por lo que $\frak{b}=\frak{d}=\frak{c}$ . En segundo lugar, es también consistente que ambos son estrictamente intermedios entre $\omega_1$ y el continuo $\frak{c}$ pero aún así igual. A continuación, también es coherente con $\text{ZFC}+\neg\text{CH}$ que el número límite $\frak{b}$ es tan pequeño como podría ser, es decir, $\omega_1$ pero el número dominante es mucho mayor, con valor $\frak{c}$ . Las herramientas para probar todas estos resultados y muchos otros implican el método de forzando .
Ahora, permítanme llegar a la parte de mi respuesta que directamente se relaciona con la idea de las tasas de crecimiento. A eslalon es se define como una secuencia de pares de números naturales $(a_0,b_0), (a_1,b_1), \ldots$ con $a_n\lt b_n$ . Cada eslalon s corresponde a la colección de funciones $f:\omega\to\omega$ tal que $f(n)$ está en el intervalo $(a_n,b_n)$ para todos los casos excepto finitamente muchos $n$ . Es decir, imagina un atleta olímpico en esquís, que debe pasar por (todas, pero finitamente muchas) las postes de eslalon. Un $h$ -slalom es un slalom tal que $|b_n-a_n|\leq h(n)$ .
Así, un eslalon es un tasa de crecimiento de funciones, en un sentido muy sentido preciso. Con colecciones (contables) adecuadamente elegidas de) slaloms, es posible expresar el concepto de tasa de crecimiento que ha mencionado en su pregunta.
La teoría de conjuntos se pone bastante interesante. Por ejemplo, una pregunta importante pregunta es: ¿cuántos slaloms bastan para cubrir todas las funciones? Esto es especialmente interesante cuando se restringe el tamaño de los slaloms considerando $h$ -slaloms. A slalom para gordos es un $2^n$ -slalom, donde el $n^{\rm th}$ tiene un tamaño máximo de $2^n$ .
Resulta que esto está relacionado con ideas que implican la metagia, también conocida como categoría. Por ejemplo, Bartoszynski demostró que todo conjunto de reales de tamaño inferior a $\kappa$ es escaso si y sólo si para cada función $h$ y cada familia de $h$ -slaloms $F$ de tamaño inferior a $\kappa$ Hay un función $g$ finalmente fallando cada eslalon en $F$ . En otras palabras, la posibilidad de que una familia de menos de $\kappa$ muchos $h$ -slaloms que cubren todas las funciones es equivalente a todo conjunto de tamaño inferior a $\kappa$ siendo escaso.
Y así sucesivamente. Hay una gran cantidad de trabajos sobre estas e ideas similares. Un artículo especialmente centrado en los slaloms sería este . Y hay un artículo de encuesta de Brendle en características cardinales.
