¿Cómo obtengo la raíz cuadrada de un número complejo?

Question

Si me dan un número complejo (digamos $9 + 4i$), ¿cómo calculo su raíz cuadrada?

Answer 1

Este es un post de tres partes. La primera parte fue escrita por el usuario Did; proporciona una fórmula y algunos comentarios breves sobre ella. La segunda parte fue escrita por el usuario Hans Lundmark; proporciona una manera geométrica de entender la fórmula. La tercera parte fue escrita por el usuario t.b.; proporciona algunas imágenes explicativas y algunos comentarios breves sobre ellas.

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(Did) Si uno es capaz de calcular la raíz cuadrada de cada número real positivo y el módulo de cada número complejo, una fórmula interesante para la raíz cuadrada principal $\sqrt{z}$ de $z$ es $$ \sqrt{z}=\sqrt{r}\frac{z+r}{|z+r|},\quad r=|z|. $$ Intenta probarlo y verás que funciona...

La raíz cuadrada principal es aquella con una parte real positiva. El único caso en el que la fórmula falla es cuando no hay una raíz cuadrada principal, es decir, cuando $z$ es un número real negativo.

No se involucra el seno ni el coseno, ni siquiera es necesario resolver polinomios de segundo grado, solo se usan cuadrados y raíces cuadradas. Por ejemplo, para $z=9+4\mathrm{i}$, $$ \sqrt{z}=\frac{9+\sqrt{97}+4\mathrm{i}}{\sqrt{2(9+\sqrt{97})}}. $$

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(HL) Hay una manera geométrica de entender la fórmula en la respuesta de Did. Para encontrar una raíz cuadrada de un número complejo dado $z$, primero quieres encontrar un número complejo $w$ que tenga la mitad del argumento de $z$ (ya que al cuadrar se duplica el argumento). Calcula $r=|z|$ y deja que $w = z+r$; así que $w$ se encuentra $r$ pasos a la derecha de $z$ en el plano complejo. Dibuja una imagen de esto, y debería quedar claro que los puntos $0$, $z$ y $w$ forman un triángulo isósceles, a partir del cual se ve que la línea desde $0$ hasta $w$ biseca el ángulo entre el eje real y la línea desde $0$ hasta $z$. En otras palabras, $w$ tiene la mitad del argumento de $z$, como se deseaba. Ahora solo queda multiplicar $w$ por alguna constante real adecuada $c$ para que $|cw|^2 = |z|$; entonces tendremos $(cw)^2=z$ y por lo tanto $cw$ es una raíz cuadrada de $z$. Obviamente, $c=\pm\sqrt{|z|}/|w|$ funcionará, por lo que este método solo falla cuando $w$ resulta ser cero, es decir, si $z$ es un número real negativo.

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(t.b.) Siguiendo una sugerencia de Did, me tomo la libertad de añadir dos imágenes que originalmente había publicado en una respuesta separada, pero parecía mejor tenerlas aquí:

Esta es la imagen para $z = 9 + 4i$:

Nota: La construcción de las raíces cuadradas es geométricamente exacta. Es decir, fueron construidas utilizando solo regla y compás. Decidí ocultar la construcción, ya que parece más confusa la ilustración prevista que añadirle algo. No obstante, sugiero tomarse un momento y pensar cómo podrías lograr la construcción geométrica.

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Añadido (t.b.)

Esta es la construcción que utilicé: Intersecciona el círculo alrededor de $z/2$ a través de $z$ con la tangente al círculo unitario ortogonal a $z$. Entonces $h^2 = (|z|-1)\cdot 1$ y así el círculo rojo tiene radio $\sqrt{|z|}$. Resta intersecar el círculo rojo con el bisector angular del eje $x$ y $z$ que construí usando el proceso que Hans describió en su parte del post.

Las imágenes fueron creadas utilizando GeoGebra.

Answer 2

La raíz cuadrada no es una función bien definida en números complejos. Debido al teorema fundamental del álgebra, siempre tendrás dos raíces cuadradas diferentes para un número dado. Si quieres averiguar los posibles valores, la forma más fácil es probablemente usar la fórmula de De Moivre, es decir, convirtiendo tu número en la forma $r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$, y entonces obtendrás $(r(\cos(\theta)+ i \sin(\theta)))^{1/2} = ±\sqrt{r}(\cos(\theta/2) + i \sin(\theta/2))$.

Answer 3

Aquí tienes una respuesta algebraica directa.

Supongamos que $z=c+di$, y queremos encontrar $\sqrt{z}=a+bi$ que se encuentre en los dos primeros cuadrantes. Entonces, ¿cuáles son $a$ y $b$?

Precisamente tenemos que $$a=\sqrt{\frac{c+\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{2}}$$ y $$b=\frac{d}{|d|}\sqrt{\frac{-c+\sqrt{c^{2}+d^{2}}}{2}}.$$ (El factor $\frac{d}{|d|}$ se utiliza para que $b$ tenga el mismo signo que $d$) Para encontrar esto, podemos usar fuerza bruta y la fórmula cuadrática. Al elevar al cuadrado, necesitaríamos resolver $$a^2-b^2 +2abi=c+di.$$ Esto nos da dos ecuaciones y dos incógnitas (separar en partes reales e imaginarias), las cuales se pueden resolver mediante sustituciones y la fórmula cuadrática.

¡Espero que te sea de ayuda!

Answer 4

También puedes hacer lo siguiente (técnica a menudo aconsejada en la escuela) :

• Escribamos $z² = 9 + 4i$ con $z = a + bi$. El objetivo es encontrar $z$

  Así, tenemos $(a + bi)² = 9 + 4i$ y si expandimos obtenemos $a²+ 2abi - b² = 9 + 4i$

  Si identificas las partes real e imaginaria, obtienes :

  $a²-b² = 9$ (1)

  y

  $2ab= 4$ (2)

• Ahora, como $z² = 9 + 4i$, el módulo de $z²$ y $9 + 4i$ son iguales, así que podemos escribir :

  $a²+b² = \sqrt{9²+4²}$

  $a²+b² = \sqrt{97}$ (3)

• Ahora encuentra $a$ y $b$ con las ecuaciones (1), (2) y (3) :

  (1) + (3) $\Leftrightarrow 2a² = 9+\sqrt{97} $

  así que $a = \sqrt{\frac{1}{2}(9+\sqrt{97})} $ o $a = - \sqrt{\frac{1}{2}(9+\sqrt{97})} $

  Con la ecuación (2) y el resultado anterior, ahora puedes encontrar $b$ :

  $2ab= 4$

  $b= 2/a$

  así que $b = 2\sqrt{\frac{2}{9+\sqrt{97}}} $ o $b = - 2\sqrt{\frac{2}{9+\sqrt{97}}} $

  La respuesta es : $z = \sqrt{\frac{1}{2}(9+\sqrt{97})} + 2i\sqrt{\frac{2}{9+\sqrt{97}}} $ o $z = - \sqrt{\frac{1}{2}(9+\sqrt{97})} - 2i\sqrt{\frac{2}{9+\sqrt{97}}} $

Answer 5

Una forma es convertir el número complejo en forma polar. Para $z = re^{i\theta}$, $z^2 = r^2 e^{i(2\theta)}$. Entonces, para tomar la raíz cuadrada, encontrarás $z^{1/2} = \pm \sqrt{r} e^{i\theta/2}$.

Agregado: Al igual que con los números reales no negativos, hay dos números complejos cuyo cuadrado será $z$. Así que hay dos raíces cuadradas (excepto cuando $z = 0$).