Estoy trabajando en un problema considerando el ciclo de Carnot para un gas de fotones. El ciclo consta de dos procesos isotérmicos a $T_{H}$ y $T_{C}$ y dos procesos adiabáticos.
La entropía del gas de fotones es $S(U,V)=bU^{0.75}V^{0.25}$, de la cual he derivado $$U=aT^{4}V$$ y $$P=\dfrac{1}{3}aT^{4}$$
donde $a=(\dfrac{3b}{4})^{4}$.
Quiero calcular el trabajo realizado y el calor absorbido en cada uno de los cuatro procesos del ciclo de Carnot, luego calcular la eficiencia $\eta$ del motor (que, como es un motor de Carnot, será $\dfrac{T_{H}-T_{C}}{T_{H}}$).
He etiquetado mi ciclo con 1 en la esquina inferior derecha, 2 en la esquina inferior izquierda, 3 en la esquina superior izquierda y 4 en la esquina superior derecha.
Luego, a lo largo de las curvas adiabáticas (2 --> 3 y 4 --> 1): $\Delta Q=0$. Así que para el 2 --> 3 $$W= U_{3}-U_{2}=a(T_{H}^{4}V_{3}-T_{C}^{4}V_{2})$$
Y para el 4-->1: $$W= U_{1}-U_{4}=a(T_{C}^{4}V_{1}-T_{H}^{4}V_{4})$$
A lo largo de los caminos isotermos, dado que $dU=aT^{4}dV+4aT^{3}VdT=at^{4}dV$, sabemos por la primera ley que $$dU=\Delta Q- p dV=aT^{4}dV$$.
Por lo tanto, a lo largo de 3 --> 4: $W= \dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})$ y $\Delta Q=\frac{4}{3}aT^{4}(V_{4}-V_{3})$.
En 1 --> 2, $W=\dfrac{1}{3}aT_{C}^{4}(V_{2}-V_{1})$.
Luego $$\eta=\frac{a\left[T_{H}^{4}\left(V_{3}-V_{4}\right)+T_{c}^{4}\left(V_{1}-V_{2}\right)\right]+\dfrac{1}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})+\dfrac{1}{3}a(T_{C}^{4}(V_{2}-V_{1}))}{\dfrac{4}{3}aT_{H}^{4}(V_{4}-V_{3})}$$
Lo cual, utilizando $T^{3}V=const.$ para mostrar $V_{1}=(\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3}V_{4}$ y $V_{2}=(\frac{T_{H}}{T_{C}})^{3}V_{3}$, sustituyo para encontrar: $$\eta=\frac{T_{C}-T_{H}}{2T_{H}}$$
¡Lo cual es incorrecto por un factor de -2!
¿Cómo elimino este factor incorrecto de -2?
También he hecho otros cálculos y encontrado que $\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{V_{4}}{V_{3}}$
